Zusammenfassung - Modellierung von Austauschprozessen

Vom Sharing-System zu Austauschprozessen

Als Beispiel für einen Austauschprozess betrachten wir ein typisches Sharing-System. Wir gehen von folgenden Rahmenbedingungen aus:

Anhand dieses Sharing-Systems kann man bereits typische Merkmale eines Austauschprozess erkennen.

Wir gehen beim betrachteten Sharing-System davon aus, dass die täglichen Übergangsraten in etwa gleich sind. Hier einige konkrete Zahlenwerte.

• Durchschnittlich $10 \%$ der Tablets, die in A ausgeliehen werden, werden in B zurückgegeben.
• Durchschnittlich $10 \%$ der Tablets, die in A ausgeliehen werden, werden in C zurückgegeben.
• Durchschnittlich $80 \%$ der Tablets in A verbleiben in A. Sie werden entweder nicht ausgeliehen oder wieder in A zurückgegeben.

Diese Übergangsraten lassen sich mit einem Übergangsgraph oder mit einer Übergangstabelle beschreiben. Beide – Graph und Tabelle – legen die Veränderung der Verteilung der Objekte hinsichtlich ihrer Zustände fest.

Übergangsgraph	Übergangstabelle
	von A von B von C zu A $0.8$ $0.1$ $0.3$ zu B $0.1$ $0.7$ $0.1$ zu C $0.1$ $0.2$ $0.6$

Im Übergangsgraph werden die möglichen Zustände mit Hilfe von Knoten erfasst, in der Übergangstabelle mit Hilfe der Spalten- und Zeilenbezeichner.

Entscheidend für die Prozessentwicklung sind die Zahlenangaben an den Kanten des Übergangsgraphen bzw. in den Spalten der Übergangstabelle. Diese Zahlen geben die Anteile der Objekte an, die im nächsten Simulationsschritt vom ausgehenden Zustand in den hinführenden Zustand wechseln.

Damit die Gesamtanzahl der Objekte im Austauschprozess gleich bleibt, müssen die Zahlenwerte im Übergangsgraph bzw. der Übergangstabelle folgende Bedingung erfüllen:

Mit Hilfe der Übergangsraten kann man jetzt die Entwicklung der Verteilung der Objekte auf die Zustände berechnen.

Schritte	A	B	C
$0$	$100$	$100$	$100$
$1$	$120$	$90$	$90$
$2$	$132$	$84$	$84$
$3$	$139.2$	$80.4$	$80.4$
...	...	...	...

Die Zahlen in der Entwicklungstabelle beschreiben die jeweilige Verteilung der Obkekte auf die Zustände. Vorgeben muss man nur die Ausgangsverteilung. Die weiteren Verteilungen ergeben sich dann aus dem Übergangsgraph bzw. der Übergangstabelle.

Beachte, dass wir hier auch Dezimalzahlen als Verteilungswerte zulassen. In der realen Welt machen Angaben wie $80.4$ Tablets keinen Sinn. Die Verteilungswerte sind Modellwerte, die reale Situationen nur näherungsweise beschreiben.

Austauschprozesse mit Matrizen beschreiben

Die Übergangstabelle bei einem Austauschprozess kann man als Matrix deuten. Diese Matrix wird Prozessmatrix (Übergangsmatrix) genannt.

Übergangsgraph	Übergangstabelle	Prozessmatrix
	von A von B von C zu A $0.8$ $0.1$ $0.3$ zu B $0.1$ $0.7$ $0.1$ zu C $0.1$ $0.2$ $0.6$	$P = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{pmatrix}$

Die Prozessmatrix bei einem Austauschprozess muss – wie bereits thematisiert – bestimmte Bedingungen erfüllen. Man erfasst diese Bedingungen mit dem Begriff stochastische Matrix.

Objektverteilungen mit Vektoren beschreiben

Die jeweilige Aufteilung eines Objektbestandes in die Zustände beschreibt man bei Austauschprozessen mit Verteilungsvektoren.

Übergangsgraph	Prozessmatrix	Veteilungsvektor
	$P = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{pmatrix}$	$\vec{v} = \begin{pmatrix} 100 \\ 100 \\ 100 \end{pmatrix}$

Häufig wird – wie in der Übersicht oben – die Aufteilung des Objektbestandes mit einem Verteilungsvektor mit absoluten Häufigkeitsangaben erfasst. Die Elemente des solchen absoluten Verteilungsvektors geben an, wie viele Objekte sich aktuell in den betreffenden Zuständen befinden. Die Summe der Elemente eines aktuellen Verteilungsvektors gibt dann die Gesamtzahl der Objekte an. Da wir keine leeren Objektbestände betrachten, kommt der Nullvektor nicht als absoluter Verteilungsvektor in Betracht.

Oft ist es sinnvoll, die Aufteilung des Objektbestandes mit relativen Häufigkeitsangaben zu beschreiben. Jedes Element eines solchen relativen Verteilungsvektors beschreibt dann den Anteil des Objektbestandes im betreffenden Zustand. Die Summe der Elemente eines relativen Verteilungsvektors muss $1$ (bzw. $100 \%$) ergeben.

Die Ausführung von Austauschprozessen mit dem Matrix-Vektor-Produkt beschreiben

Bei der Ausführung eines Austauschprozesses werden ausgehend von einer Ausgangsverteilung in jedem Schritt die neuen Verteilungen der Objekte auf die Zustände bestimmt. Im Tablet-Sharing-System erhält man folgende Werte:

Schritte	A	B	C
$0$	$100$	$100$	$100$
$1$	$120 = 0.8 \cdot 100 + 0.1 \cdot 100 + 0.3 \cdot 100$	$90 = 0.1 \cdot 100 + 0.7 \cdot 100 + 0.1 \cdot 100$	$90 = 0.1 \cdot 100 + 0.2 \cdot 100 + 0.6 \cdot 100$
$2$	$132 = 0.8 \cdot 120 + 0.1 \cdot 90 + 0.3 \cdot 90$	$84 = 0.1 \cdot 120 + 0.7 \cdot 90 + 0.1 \cdot 90$	$84 = 0.1 \cdot 120 + 0.2 \cdot 90 + 0.6 \cdot 90$
...	...	...	...

Diese Berechnungen kann man übersichtlich mit den Matrix-Vektor-Produkt darstellen.

Schritte	Verteilungsvektor	Berechnung
$0$	$\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 100 \\ 100 \\ 100 \end{pmatrix}$
$1$	$\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 120 \\ 80 \\ 80 \end{pmatrix}$	$\vec{v}_1 = P \cdot \vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 100 \\ 100 \end{pmatrix}$
$2$	$\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 132 \\ 84 \\ 84 \end{pmatrix}$	$\vec{v}_2 = P \cdot \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 120 \\ 90 \\ 90 \end{pmatrix}$
...	...	...
$n$	$\vec{v}_n = \cdots$	$\vec{v}_n = P \cdot \vec{v}_{n-1}$

Man erhält so folgendes Verfahren zur Simulation eines Austauschprozesses.