Zusammenfassung - Modellierung von Austauschprozessen

Vom Sharing-System zu Austauschprozessen

Als Beispiel für einen Austauschprozess betrachten wir ein typisches Sharing-System. Wir gehen von folgenden Rahmenbedingungen aus:

Anhand dieses Sharing-Systems kann man bereits typische Merkmale eines Austauschprozess erkennen.

Modellierung und Simulation eines Austauschprozesses

Wir gehen vom oben informell beschriebenen Sharing-System aus. Die Systembeschreibung erfolgt mit einem Übergangsgraph, in dem sämtliche Übergangsraten eingetragen sind. Die Prozessentwicklung lässt sich mit einer Entwicklungstabelle verdeutlichen. Die Zahlen in der Entwicklungstabelle beschreiben die jeweilige Verteilung der Obkekte auf die Zustände. Vorgeben muss man nur die Ausgangsverteilung. Die weiteren Verteilungen ergeben sich dann mit Hilfe der Übergangsraten.

Beachte, dass wir in einer Entwicklungstabelle auch Dezimalzahlen als Verteilungswerte zulassen. In der realen Welt machen Angaben wie $80.4$ Tablets keinen Sinn. Die Verteilungswerte sind Modellwerte, die die reale Situationen nur näherungsweise beschreiben.

Systembeschreibung mit einem Übergangsgraph	Prozessentwicklung mit einer Entwicklungstabelle
	Schritte A B C $0$ $100$ $100$ $100$ $1$ $120$ $90$ $90$ $2$ $132$ $84$ $84$ $3$ $139.2$ $80.4$ $80.4$ ... ... ... ...

Entscheidend für die Prozessentwicklung sind die Zahlenangaben an den Kanten des Übergangsgraphen. Diese Zahlen geben die Anteile der Objekte an, die im nächsten Simulationsschritt vom ausgehenden Zustand in den hinführenden Zustand wechseln.

Damit die Gesamtanzahl der Objekte im Austauschprozess gleich bleibt, müssen die Übergangsraten im Übergangsgraph folgende Bedingung erfüllen:

Systemmodellierung mit einer Matrix

Die gesamte Information eines Übergangsgraphen zu einem Austauschprozess kann man auch mit Hilfe einer Übergangstabelle darstellen. Die Übergangstabelle kann man dann als Matrix deuten. Diese Matrix wird Prozessmatrix (odeer auch Übergangsmatrix) genannt.

Übergangsgraph	Übergangstabelle	Prozessmatrix
	von A von B von C zu A $0.8$ $0.1$ $0.3$ zu B $0.1$ $0.7$ $0.1$ zu C $0.1$ $0.2$ $0.6$	$P = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{pmatrix}$

Die Prozessmatrix bei einem Austauschprozess muss – genau wie der entsprechende Übergangsgraph – bestimmte Bedingungen erfüllen. Man erfasst diese Bedingungen mit dem Begriff stochastische Matrix.

Beschreibung von Objektverteilungen mit Vektoren

Die jeweilige Aufteilung eines Objektbestandes in die Zustände beschreibt man bei Austauschprozessen mit Verteilungsvektoren.

Übergangsgraph	Prozessmatrix	Veteilungsvektor
	$P = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{pmatrix}$	$\vec{v} = \begin{pmatrix} 100 \\ 100 \\ 100 \end{pmatrix}$

Häufig wird – wie in der Übersicht oben – die Aufteilung des Objektbestandes mit einem Verteilungsvektor mit absoluten Häufigkeitsangaben erfasst. Die Elemente des solchen absoluten Verteilungsvektors geben an, wie viele Objekte sich aktuell in den betreffenden Zuständen befinden. Die Summe der Elemente eines aktuellen Verteilungsvektors gibt dann die Gesamtzahl der Objekte an. Da wir keine leeren Objektbestände betrachten, kommt der Nullvektor nicht als absoluter Verteilungsvektor in Betracht.

Oft ist es sinnvoll, die Aufteilung des Objektbestandes mit relativen Häufigkeitsangaben zu beschreiben. Jedes Element eines solchen relativen Verteilungsvektors beschreibt dann den Anteil des Objektbestandes im betreffenden Zustand. Die Summe der Elemente eines relativen Verteilungsvektors muss $1$ (bzw. $100 \%$) ergeben.

Prozessentwicklung mit dem Matrix-Vektor-Produkt

Bei der Ausführung eines Austauschprozesses werden ausgehend von einer Ausgangsverteilung in jedem Schritt die neuen Verteilungen der Objekte auf die Zustände bestimmt. Im Tablet-Sharing-System erhält man folgende Werte:

Schritte	A	B	C
$0$	$100$	$100$	$100$
$1$	$\begin{array}{lcl} 120 & = & 0.8 \cdot 100 \\ & + & 0.1 \cdot 100 \\ & + & 0.3 \cdot 100 \end{array}$	$\begin{array}{lcl} 90 & = & 0.1 \cdot 100 \\ & + & 0.7 \cdot 100 \\ & + & 0.1 \cdot 100 \end{array}$	$\begin{array}{lcl} 90 & = & 0.1 \cdot 100 \\ & + & 0.2 \cdot 100 \\ & + & 0.6 \cdot 100 \end{array}$
$2$	$\begin{array}{lcl} 132 & = & 0.8 \cdot 120 \\ & + & 0.1 \cdot 90 \\ & + & 0.3 \cdot 90 \end{array}$	$\begin{array}{lcl} 84 & = & 0.1 \cdot 120 \\ & + & 0.7 \cdot 90 \\ & + & 0.1 \cdot 90 \end{array}$	$\begin{array}{lcl} 84 & = & 0.1 \cdot 120 \\ & + & 0.2 \cdot 90 \\ & + & 0.6 \cdot 90 \end{array}$
...	...	...	...

Diese Berechnungen kann man übersichtlich mit den Matrix-Vektor-Produkt darstellen.

Schritte	Verteilungsvektor	Berechnung
$0$	$\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 100 \\ 100 \\ 100 \end{pmatrix}$
$1$	$\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 120 \\ 90 \\ 90 \end{pmatrix}$	$\vec{v}_1 = P \cdot \vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 100 \\ 100 \end{pmatrix}$
$2$	$\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 132 \\ 84 \\ 84 \end{pmatrix}$	$\vec{v}_2 = P \cdot \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 120 \\ 90 \\ 90 \end{pmatrix}$
...	...	...
$n$	$\vec{v}_n = \cdots$	$\vec{v}_n = P \cdot \vec{v}_{n-1}$

Man erhält so folgendes Verfahren zur Simulation eines Austauschprozesses.