Vertiefung
Austauschprozesse mit Matrizen beschreiben
Die Übergangstabelle bei einem Austauschprozess beschreibt man meist mit Hilfe einer Matrix, die Prozessmatrix (oder Übergangsmatrix) genannt wird.
Sharing-System: Beschreibung des Austauschprozesses
| Übergangsgraph | Übergangstabelle | Prozessmatrix | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
$P = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{pmatrix}$ |
Die Prozessmatrix bei einem Austauschprozess muss bestimmte Bedingungen erfüllen. Sie muss eine stochastische Matrix sein.
Stochastische Matrix
Eine stochastische Matrix ist eine Matrix mit folgenden Eigenschaften:
- Die Matrix ist quadratisch.
- Alle Elemente $a_{ij}$ der Matrix sind reelle Zahlen mit $0 \leq a_{ij} \leq 1$.
- Die Summe aller Elemente in jeder Spalte der Matrix beträgt $1$.
Aufgabe 1
Erkläre, warum die Prozessmatrix bei einem Austauschprozess eine stochastische Matrix ist.
Objektverteilungen mit Vektoren beschreiben
Die jeweilige Aufteilung eines Objektbestandes in die Zustände beschreibt man bei Austauschprozessen mit Verteilungsvektoren.
Sharing-System: Objektverteilungen bei Austauschprozessen
| Übergangsgraph | Prozessmatrix | absoluter Veteilungsvektor | relativer Veteilungsvektor |
|---|---|---|---|
|
|
$P = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{pmatrix}$ | $\vec{v} = \begin{pmatrix} 100 \\ 100 \\ 100 \end{pmatrix}$ | $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1/3 \\ 1/3 \\ 1/3 \end{pmatrix}$ |
Aufgabe 2
Kläre folgende Fragen:
Was beschreiben die Elemente eines (absoluten bzw. relativen) Verteilungsvektors?
Wie erhält man die Gesamtanzahl der betrachteten Objekte bei einem absoluten Verteilungsvektors? Warum kommt der Nullvektor nicht als absoluter Verteilungsvektor in Betracht?
Warum muss die Summe der Elemente bei einem relativen Verteilungsvektors die Zahl $1$ ergeben??
Die Ausführung von Austauschprozessen mit dem Matrix-Vektor-Produkt beschreiben
Bei der Ausführung eines Austauschprozesses werden ausgehend von einer Ausgangsverteilung in jedem Schritt die neuen Verteilungen der Objekte auf die Zustände bestimmt. Im Tablet-Sharing-System erhält man folgende Werte:
| Schritte | A | B | C |
|---|---|---|---|
| $0$ | $100$ | $100$ | $100$ |
| $1$ | $120 = 0.8 \cdot 100 + 0.1 \cdot 100 + 0.3 \cdot 100$ | $90 = \dots$ | $90 = \dots$ |
| $2$ | $132 = \dots$ | $84 = \dots$ | $84 = \dots$ |
| $3$ | $139.2 = \dots$ | $80.4 = \dots$ | $80.4 = \dots$ |
| ... | ... | ... | ... |
Diese Berechnungen kann man übersichtlich mit den Matrix-Vektor-Produkt darstellen.
| Schritte | Verteilungsvektor | Berechnung |
|---|---|---|
| $0$ | $\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 100 \\ 100 \\ 100 \end{pmatrix}$ | |
| $1$ | $\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 120 \\ 80 \\ 80 \end{pmatrix}$ | $\vec{v}_1 = P \cdot \vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 100 \\ 100 \end{pmatrix}$ |
| $2$ | $\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 132 \\ 84 \\ 84 \end{pmatrix}$ | $\vec{v}_2 = \color{red}{\cdots}$ |
| ... | ... | ... |
| $n$ | $\vec{v}_n = \cdots$ | $\vec{v}_n = \color{red}{\cdots}$ |
Aufgabe 3
(a) Ergänze in der Tabelle die mit $\color{red}{\cdots}$ markierten Teile.
(b) Ergänze entsprechend die mit $\color{red}{\cdots}$ markierten Teile im folgenden Satz.
Simulation eines Austauschprozesses
Ein Austauschprozess werde mit einer Prozessmatrix $P$ beschrieben. Die Ausgangsverteilung der Objekte werde mit einem Verteilungsvektor $\vec{v}_{0}$ beschrieben. Die Entwicklung der Objektverteilungen kann man dann so berecnen:
$\vec{v}_{n} = \color{red}{\cdots}$ für alle Schritte $n \geq 1$.
