Aufgabe 1

Ein Forschungsteam untersucht die Reaktionszeit von Jugendlichen bei einem einfachen Reaktionstest. Aus einer früheren Untersuchung ist bekannt, dass $60$ $\%$ der Teilnehmenden innerhalb einer vorgegebenen Zeit richtig reagieren. Nach einer Änderung der Testbedingungen soll geprüft werden, ob sich dieser Anteil verändert hat. Dazu werden $100$ Jugendliche unter den neuen Bedingungen getestet. Das Signifikanzniveau beträgt $5$ $\%$.

(a) Formuliere die Nullhypothese $H_0$ und die Alternativhypothese $H_1$.

(b) Begründe, weshalb bei diesem Test sowohl ungewöhnlich kleine als auch ungewöhnlich große Erfolgszahlen gegen die Nullhypothese sprechen können.

(c) Bestimme mit dem Applet die Entscheidungsregel zum vorgegebenen Signifikanzniveau.

(d) Beurteile die Testergebnisse, wenn $48$, $60$ beziehungsweise $72$ Jugendliche erfolgreich sind.

Aufgabe 2

Eine Lern-App soll Jugendlichen helfen, gefälschte Nachrichten zu erkennen. Bei einem bisherigen Test konnten $55$ $\%$ der Jugendlichen Fake News korrekt identifizieren. Nach einem Update vermutet das Entwicklerteam, dass die Erfolgswahrscheinlichkeit gestiegen ist.

Dazu werden $80$ Jugendliche getestet. Die Anzahl der Jugendlichen, die Fake News korrekt erkennen, wird durch die Zufallsgröße $X$ beschrieben.

Es soll mit einem Signifikanzniveau von $5$ $\%$ getestet werden, ob das Update die Erfolgswahrscheinlichkeit erhöht hat.

(a) Formuliere die Nullhypothese $H_0$ und die Alternativhypothese $H_1$.

(b) Bestimme mit dem Applet die Entscheidungsregel eines Hypothesentests zum vorgegebenen Signifikanzniveau.

(c) Bei der Durchführung des Hypothesentests wird bei $51$ Jugendlichen ein Erfolg festgestellt. Zu welchem Ergebnis kommt der Hypothesentest? Interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.

(d) Beschreibe die beiden möglichen Fehlerarten bei dem Testverfahren.

(e) Das Entwicklerteam möchte die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art weiter verringern. Welche Auswirkung hat dies bei gleichbleibendem Stichprobenumfang in der Regel auf die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art? Verdeutliche mit konkreten Zahlenangaben.

(f) Beschreibe es eine Möglichkeit, den Fehler 1. Art weiterhin mit dem Signifikanzniveau zu beschränken und zusätztlich den Fehler 2. Art zu verringern. Verdeutliche mit konkreten Zahlenangaben.