Ableitung von Potenzfunktionen
Ableitungsfunktionen zu den Potenzfunktionen bestimmen
Wir bearbeiten hier folgendes Problem.
Gegeben ist eine Potenzfunkion $f$ mit $f(x) = x^n$ (mit einer natürlichen Zahl $n$).
Gesucht ist eine Formel für die Ableitungsfunktion $f'(x)$ der betreffenden Potenzfunktion.
Das Applet hilf dir, das Problem zu lösen.
Zum Herunterladen: potenzregel.ggb
Aufgabe 1
Betrachte zunächst den Fall $n = 2$ (d.h. die Potenzfunktion $f(x) = x^2$). Im Abschnitt Herleitung von $f'(x_0)$ hast du bereits die Formel für die Ableitungsfunktion $f'(x)$ bestimmt. Das Applet zeigt die Herleitung in verkürzter Form an. Erläutere, wie man ausgehend von der mittleren Änderungsrate $m(x, x+h)$ zur Ableitungsfunktion $f'(x) = 2x$ gelangt.
Aufgabe 2
Betrachte jetzt weitere Fälle (z.B. $n = 3$, $n = 4$, $n = 5$ und $n = 6$). Bestimme mit Hilfe des Applets die Formel für $f'(x)$. Stelle dafür den Exponenten mit dem Schieberegler passend ein und betrachte die mittlere Änderungsrate; aus dieser kannst du die Ableitungsfunktion herleiten. Gib sie dann in das Eingabefeld ein und kontrolliere sie grafisch (es darf nur 1 blauer Graph zu sehen sein).
Aufgabe 3
Sammle alle Ergebnisse in der Tabelle. Gib auch eine allgemeine Formel für $f(x) = x^n$ an.
| Potenzfunktion | zugehörige Ableitungsfunktion |
| $f(x) = x^2$ | $f'(x) = 2x$ |
| $f(x) = x^3$ | $f'(x) = ...$ |
| $f(x) = x^4$ | $f'(x) = ...$ |
| $f(x) = x^5$ | $f'(x) = ...$ |
| $f(x) = x^6$ | $f'(x) = ...$ |
| ... | ... |
| $f(x) = x^n$ | $f'(x) = ...$ |
| ... | ... |
| $f(x) = x^1 = x$ | $f'(x) = 1$ |
| $f(x) = x^0 = 1$ | $f'(x) = 0$ |
Aufgabe 4
In der Tabelle sind auch die Fälle $f(x) = x^1$ und $f(x) = x^0$ aufgelistet. Passen die bereits bekannten Ableitungen zur allgemeinen Formel? Begründe.
