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Erarbeitung - Begründung von Eigenschaften

Zur Orientierung

Die Begriffsdefinitionen zur Monotonie und Beschränktheit machen es möglich, Eigenschaften von Folgen argumentativ nachzuweisen. Wir nutzen hier inhaltliche Begründungen und verzichten auf strenge Beweise.

Beispiel 1

Als Beispiel betrachten wir die Folge $(a_{n})$ , die so festgelegt ist:

Graph	Darstellung
	$a_{n} = 200 \cdot (1 - {0.5}^{n})$

Anhand des Graphen vermutet man, dass die Folge streng monoton steigend und nach oben und unten beschränkt ist.

Aufgabe 1: Beschränktheit begründen

(a) Begründe zunächst, dass $0 < {0.5}^{n} < 1$ für $n = 1; 2; 3; . . .$ gilt.

(b) Begründe mit Hilfe von (a), dass $a_{n} > 0$ und $a_{n} < 200$ für alle Folgenglieder gilt.

Aufgabe 2: Monotonie begründen

(a) Begründe zunächst, dass ${0.5}^{n} > {0.5}^{n + 1}$ für $n = 1; 2; 3; . . .$ gilt.

(b) Begründe mit Hilfe von (a), dass $a_{n} < a_{n + 1}$ für alle Folgenglieder gilt.

Beispiel 2

Als Beispiel betrachten wir die Folge $(a_{n})$ , die so festgelegt ist:

Graph	Darstellung
	$a_{n} = 90 + 10 \cdot n$

Anhand des Graphen vermutet man, dass die Folge streng monoton steigend und nicht nach oben beschränkt ist.

Aufgabe 3: Monotonie begründen

(a) Begründe zunächst, dass $10 \cdot n < 10 \cdot (n + 1)$ für $n = 1; 2; 3; . . .$ gilt.

(b) Begründe mit Hilfe von (a), dass $a_{n} < a_{n + 1}$ für alle Folgenglieder gilt.

Aufgabe 4: Beschränktheit untersuchen

Kann es eine obere Schranke $S$ für die Folgenglieder geben?

(a) Kann $S = 1000$ eine obere Schranke für die Folgenglieder sein? Begründe, dass man eine Platznummer $n$ findet, so dass $a_{n} > S$ gilt.

(b) Begründe, dass man für beliebige Werte für $S$ eine Platznummer $n$ findet, so dass $a_{n} > S$ gilt.

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