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Vertiefung - Berechnungsformeln

Zur Orientierung

Im letzten Abschnitt wurde die Anzahl von Zügen (das sind die Scheibenbewegungen) bestimmt, die man beim Umschichten eines $n$ -Scheiben-Turm benötigt. Man erhält für $n = 1; 2; 3; 4; 5; \dots$ folgende Zuganzahlen:

$1; 3; 7; 15; 31; . . .$

In diesem Abschnitt entwickeln wir Formeln zur Berechnung dieser Zuganzahlen.

Das Berechnungsverfahren analysieren

Aufgabe 1

Sicher ist dir auch schon aufgefallen, dass man die Folgenglieder schrittweise berechnen kann.

$a_{1} = 1$
$a_{2} = 2 \cdot a_{1} + 1$
$a_{3} = 2 \cdot a_{2} + 1$
$a_{4} = 2 \cdot a_{3} + 1$
$a_{5} = 2 \cdot a_{4} + 1$
...

(a) Ergänze die nächste Berechnungsformel.

(b) Beschreibe die Berechnungen jetzt allgemein. Ergänze hierzu die Formel für $a_{n}$ .

$a_{1} = 1$
$a_{n} =$ ... (für $n = 2, 3, . . .$ )

(c) Kontrolliere die Formel im folgenden Applet.

Applet einblenden

Mit den grau hinterlegten Schaltflächen kann man die Folgenglieder schrittweise berechnen. Zuerst muss man das Anfangsfolgenglied berechnen. Dann kann man schrittweise die nächsten Folgenglieder berechnen. Probiere es selbst aus.

Zum Herunterladen: anzahlzuege_rekursiv.ggb

Aufgabe 2

Die Folgenglieder kann man auch direkt berechnen.

$a_{1} = 2^{0} - 1$
$a_{2} = 2^{1} - 1$
$a_{3} = 2^{2} - 1$
...

(a) Ergänze die nächste Berechnungsformel.

(b) Beschreibe die Berechnungen jetzt allgemein. Ergänze hierzu die Formel für $a_{n}$ .

$a_{n} =$ ... (für $n = 1, 2, 3, . . .$ )

(c) Kontrolliere die Formel im folgenden Applet.

Applet einblenden

Mit der grau hinterlegten Schaltfläche kann man die Folgenglieder direkt berechnen. Man gibt dazu den zunächst Index des Folgenglieds in das Eingabefeld ein. Wenn man die Schaltfläche aktiviert, wird direkt das zugehörige Folgenglied berechnet und angezeigt. Probiere es selbst aus.

Zum Herunterladen: anzahlzuege_explizit.ggb

Aufgabe 3 (etwas schwieriger)

Hier geht es um eine Herleitung der Formel aus Aufgabe 2.

(a) Wir wissen, dass folgender Zusammenhang besteht:

$a_{1} = 1$
$a_{n} = 2 \cdot a_{n - 1} + 1$ für $n = 2, 3, . . .$

Begründe, dass sich hieraus ergibt:

$a_{1} = 1$
$a_{2} - a_{1} = a_{1} + 1$
$a_{3} - a_{2} = a_{2} + 1$
$a_{4} - a_{3} = a_{3} + 1$
...

(b) Erläutere die folgenden Umformungen.

$a_{1} = 1 = 2^{0}$
$a_{2} = 2 \cdot a_{1} + 1 = 2 \cdot (2^{0}) + 1 = 2^{1} + 2^{0}$
$a_{3} = 2 \cdot a_{2} + 1 = 2 \cdot (2^{1} + 2^{0}) + 1 = 2^{2} + 2^{1} + 2^{0}$
$a_{4} = 2 \cdot a_{3} + 1 = 2 \cdot (2^{2} + 2^{1} + 2^{0}) + 1 = 2^{3} + 2^{2} + 2^{1} + 2^{0}$
...

Begründe, dass sich hieraus ergibt:

$a_{1} = 2^{0}$
$a_{2} - a_{1} = 2^{1}$
$a_{3} - a_{2} = 2^{2}$
$a_{4} - a_{3} = 2^{3}$
...

$a_{1} + 1 = 2^{1}$ bzw. $a_{1} = 2^{1} - 1$
$a_{2} + 1 = 2^{2}$ bzw. $a_{2} = 2^{2} - 1$
$a_{3} + 1 = 2^{3}$ bzw. $a_{3} = 2^{3} - 1$
...

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