Erarbeitung - Folge als Funktion

Die Begrüßungsfolge analysieren

Aufgabe 1

Erläutere anhand des folgenden Applets:

• Die Zahlenfolge $0;1;3;6;10;...$ kann als (verkürzte) Wertetabelle einer Funktion aufgefasst werden.
• Diese Funktion ordnet jeder natürlichen Zahl $n$ (für $n=1,2,3,\dots$) das Folgenglied $a_n$ zu.
• Die explizite Berechnungsformel $a_n={\displaystyle \frac{n\cdot (n-1)}{2}}$ stellt die Funktionsgleichung der Funktion dar. Man könnte sie auch so schreiben: $a(n)={\displaystyle \frac{n\cdot (n-1)}{2}}$.
• Die Zahlenfolge kann man auch mit einem Funktionsgraph darstellen. Jedem Folgenglied $a_n$ entspricht ein Punkt des Graphen mit den Koordinaten $(n|a_n)$. Es macht keinen Sinn, die Punkte des Graphen zu verbinden.

Anleitung für das Applet

• Die Berechnungsformel für $a_n$ (als Funktionsgleichung der Folge) ist bereits im entsprechenden Eingabefeld eingetragen.
• Mit den Eingabefeldern iMin und iMax kann man den Bereich festlegen, für den man die Folgenglieder berechnen und darstellen will.
• Passend zur Funktionsgleichung und zum vorgegebenen Indexbereich wird die Wertetabelle zur Folge erstellt.
• Wenn man den Schieberegler bewegt, dann werden die Zuordnungen der Folge angezeigt. Diese Zuordnungen werden zusätzlich im Koordinatensystem veranschaulicht.
• Mit der Bewegung des Schiebereglers entsteht somit (ausschnittsweise) der Graph der Folge.

Zum Herunterladen: darstellung_als_funktion1.ggb

Die Türme-von-Hanoi-Folge analysieren

Aufgabe 2

Erläutere anhand des folgenden Applets:

• Die Zahlenfolge $1;3;7;15;31,...$ kann als (verkürzte) Wertetabelle einer Funktion aufgefasst werden.
• Diese Funktion ordnet jeder natürlichen Zahl $n$ (für $n=1,2,3,\dots$) das Folgenglied $a_n$ zu.
• Die explizite Berechnungsformel $a_n=2^n-1$ stellt die Funktionsgleichung der Funktion dar. Man könnte sie auch so schreiben: $a(n)=2^n-1$.
• Die Zahlenfolge kann man auch mit einem Funktionsgraph darstellen. Jedem Folgenglied $a_n$ entspricht ein Punkt des Graphen mit den Koordinaten $(n|a_n)$. Es macht keinen Sinn, die Punkte des Graphen zu verbinden.

Anleitung für das Applet

• Die Berechnungsformel für $a_n$ (als Funktionsgleichung der Folge) ist bereits im entsprechenden Eingabefeld eingetragen.
• Mit den Eingabefeldern iMin und iMax kann man den Bereich festlegen, für den man die Folgenglieder berechnen und darstellen will.
• Passend zur Funktionsgleichung und zum vorgegebenen Indexbereich wird die Wertetabelle zur Folge erstellt.
• Wenn man den Schieberegler bewegt, dann werden die Zuordnungen der Folge angezeigt. Diese Zuordnungen werden zusätzlich im Koordinatensystem veranschaulicht.
• Mit der Bewegung des Schiebereglers entsteht somit (ausschnittsweise) der Graph der Folge.

Zum Herunterladen: darstellung_als_funktion2.ggb

Eine weitere Folge betrachten

Die Folgenglieder einer Zahlenfolge können beliebige reelle Zahlen sein. Das kannst du im nächsten Beispiel sehen.

Aufgabe 3

Mit der Zahlenfolge $a_0;a_1;a_2;a_3;...$ beschreiben wir die Geldbeträge im Sparschwein nach $0;1;2;\dots$ Tagen.

Ergänze im Applet die Formel zur Berechnung von $a_n$. Benutze passende Eingaben für nMin und nMax. Kontrolliere, ob die Ergebnisse in der Wertetabelle sinnvoll sind.

Zum Herunterladen: darstellung_als_funktion3.ggb

Den Folgenbegriff präzisieren

Die Beispiele verdeutlichen, dass man eine Zahlenfolge als Funktion auffassen kann.

Als Indexmenge bzw. Definitionsmenge der Folge verwendet man üblicherweise die Gesamtheit aller natürlichen Zahlen $\mathbb{N}=\{0;1;2;\dots \}$ oder die Menge ${\mathbb{N}}^{\ast }=\{1;2;3;\dots \}$ der natürlichen Zahlen ohne die $0$. Es sind aber auch andere Indexmengen wie z.B. $\{3;4;5;\dots \}$ möglich.