Anzahl von Anordnungsmöglichkeiten

Einordnung und Zielsetzung

Im Kapitel Anzahl von Anordnungsmöglichkeiten werden Urnenmodelle betrachtet, bei denen die Reihenfolge der gezogenen Objekte berücksichtigt wird. Folgende Zielsetzungen stehen dabei im Vordergrund:

Hier lernst du, ...

• ... wie werden Kombinationsmöglichkeiten gezählt.
• ... wie werden Vorgänge im Alltag mit passenden Urnenmodellen beschrieben.
• ... wie werden bei Urnenziehungen mit und ohne Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge die Anzahl der möglichen Ziehungen bestimmt.
• ... wie werden Anzahlen mit Fakultäten beschrieben.

Verwendung von Urnenmodellen

Die Tabelle verdeutlicht einige wichtige Urnenmodellen anhand konkreter Anwendungssituationen.

Vorgang in der Realität	Simulation mit einem Urnenmodell
Tippschein zum Fußballtoto: Hier wird bei jedem Spiel ein Kreuz gesetzt.	Ziehen mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge
Tippschein beim Pferderennen: Hier wird für jeden Platz ein Kreuz gesetzt.	Ziehen ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge
Auslosung einer Reihenfolge: Beim Poetry-Slam-Wettbewerb wird für die Reihenfolge der Auftritte der Teilnehmer(innen) ausgelost.	Ziehen aller Kugeln ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge

Für diese Urnenmodelle kann die Anzahl möglicher Anordnungen (bzw. Ziehungsergebnisse) direkt bestimmt werden.

Urnenmodell	Anzahl der möglichen Ziehungen (Anordnungen)
Ziehen mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge	Anzahl der möglichen Teilergebnisse: 1. Ziehung: $3$ 2. Ziehung: $3$ ... 6. Ziehung: $3$ Gesamtanzahl der möglichen Ergebnisse: $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^6$
Ziehen ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge	Anzahl der möglichen Teilergebnisse: 1. Ziehung: $9$ 2. Ziehung: $8$ 3. Ziehung: $7$ Gesamtanzahl der möglichen Ergebnisse: $9 \cdot 8 \cdot 7$
Ziehen aller Kugeln ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge	Anzahl der möglichen Teilergebnisse: 1. Ziehung: $4$ 2. Ziehung: $3$ 3. Ziehung: $2$ 4. Ziehung: $1$ Gesamtanzahl der möglichen Ergebnisse: $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

Die Ergebnisse lassen sich mit den in der Mathematik gängigen Notationen so formulieren:

Urnenziehung	Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten
Ziehen mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge Beispiel: Allgemein: $k$-mal eine Kugel ziehen aus einer Urne mit $n$ durchnummerierten Kugeln	Beispiel: $N = 5^3$ Allgemein: $N = n^k$
Ziehen ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge Beispiel: Allgemein: $k$-mal eine Kugel ziehen aus einer Urne mit $n$ durchnummerierten Kugeln	Beispiel: $N = 5 \cdot 4 \cdot 3$ Allgemein: $N = {\underbrace{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)}_{\text{k mal}}}$
Ziehen aller Kugeln ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge Beispiel: Allgemein: $n$-mal eine Kugel ziehen aus einer Urne mit $n$ durchnummerierten Kugeln	Beispiel: $N = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5!$ Allgemein: $N = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1 = n!$