Analyse eines Hypothesentests

Einordnung und Zielsetzung

Das Testen von Hypothesen ist ein gängiges statistisches Verfahren, das in der Praxis häufig benutzt wird. Im Kapitel Analyse eines Hypothesentests wird dieses Verfahren anhand einer Fallstudie (mit einem im Internet vorgestellten Test) analytisch erschlossen. Folgende Zielsetzungen stehen dabei im Vordergrund:

Hier lernst du, ...

• ... wie ein Hypothesentest angelegt wird und wie die Argumentation beim Hypothesentest funktioniert.
• ... wie eine Entscheidungsregel für einen Hypothesentest erstellt wird.
• ... welche Fehler beim Hypothesentest auftreten können und wie sie ermittelt werden.

Wahl der Fallstudie

Die Untersuchung übersinnlicher Fähigkeiten eignet sich sehr gut für ein analytisches Erschließen von Hypothesentests:

• Der Kontext und die Fragestellung interessiert die Lerner in aller Regel sehr stark.
• Es gibt authentisches Material hierzu im Internet.
• Die Rollenverteilung Kandidat(in) und Skeptiker(in) ist hier offensichlich.
• Die Argumentationslogik kann gut rollenbezogen dargestellt werden.

Fokus auf die Testlogik

Die Materialien im Kapitel Analyse eines Hypothesentests legen den Fokus auf die Testlogik. Die mathematischen Überlegungen dienen zur vertiefenden Fundierung der Argumentationen.

Mit der gewählten Dialogform werden Argumentationsschritte möglichst verständlich und authentisch dargestellt.

Die Ausgangssituation betrachten

Kandidat H.K.	die Skeptiker	Mathematisierung aus Sicht der Skeptiker
Behauptung: Ich kann Wasser mit Stäben erspüren.
	Hypothese: Wir sind da sehr skeptisch und glauben nicht, dass Sie das können – zumindest nicht besser als jemand, der nur rät.
	experimentelles Vorgehen: Wir wollen das genauer untersuchen. Hierfür schlagen wir folgendes Experiment vor: Sie sollen 13-mal Wasser suchen, das in einem von 10 Eimern versteckt ist. Mindestens 7-mal müssen sie richtig liegen, um den Test zu bestehen.	Experiment: 13-mal Wasser suchen, das in einem von 10 Eimern versteckte ist Nullhypothese: $H_0: p = 0.1$ ($p$: Trefferwahrscheinlichkeit) Zufallsexperiment: Das Experiment ist dann eine Bernoulli-Kette mit $n = 13$ und $p = 0.1$. Testgröße: $X$: Anzahl der Treffer Signifikanzniveau: $\alpha = 0.01\%$ Entscheidungsregel: $X \geq 7$ -> Test ist bestanden $X \text{ < } 7$ -> Test ist nicht bestanden
Zustimmung: Gut, ich werde es versuchen.

Das Testergebnis auswerten - Fall A

Kandidat H.K.	die Skeptiker	Mathematisierung aus Sicht der Skeptiker
	Testergebnis: Es hat leider nicht geklappt.
	Hypothese beibehalten / die Behauptung weiterhin bezeifeln: Wir bleiben bei unserer Skepsis und glauben weiterhin nicht, dass Sie das können.
Zu Hause hat es aber immer funktioniert.	Fehler 2. Art: Es ist durchaus möglich, dass Sie den Test nicht bestehen, obwohl ihre Behauptung stimmt.	Fehlerwahrscheinlichkeit: Für z.B. $p = 0.8$ erhält man $P(X \text{ < } 7 | p = 0.8) \approx 0.007$. Für z.B. $p = 0.5$ erhält man $P(X \text{ < } 7 | p = 0.5) \approx 0.5$

Das Testergebnis auswerten - Fall B

Kandidat H.K.	die Skeptiker	Mathematisierung aus Sicht der Skeptiker
	Testergebnis: Sie haben den Test bestanden.
	Hypothese verwerfen / die Behauptung akzeptieren: Gut, dann müssen wir wohl anerkennen, dass Sie das möglicherweise tatsächlich können.
Ich habe das doch schon gesagt, dass ich das kann.	Fehler 1. Art: Ein kleiner Zweifel bleibt aber immer noch. Sie könnten den Test bestehen, obwohl die Behauptung nicht stimmt.	Fehlerwahrscheinlichkeit: $P(X \geq 7 | p = 0.1) \approx 0.000099 \text{ < } \alpha = 0.01\%$