Exkurs (Spielvarianten)
Die Differenzenvariante betrachten
In der Differenzenvariante betrachten wir die Differenz der Augenzahlen der beiden geworfenen Würfel.
Aufgabe 3
Stelle erste Überlegungen zur Klärung der Leitfrage an:
- Welche Punktzahlen sind beim Werfen der beiden Würfel möglich?
- Warum sind die Punktzahlen nicht gleichwahrscheinlich?
- Warum wird z. B. die Punktzahl $0$ mit einer höheren Wahrscheinlichkeit erreicht als die Punktzahl $5$?
- Welche Punktzahl ist am wahrscheinlichsten?
Aufgabe 4
Mit dem folgenden Applet kannst du wiederholt zwei Würfel werfen und dabei die Entwicklung der Häufigkeiten der möglichen Augendifferenzen betrachten.
Benutze das Applet, um deine Ergebnisse aus Aufgabe 3 zu überprüfen.
Zum Herunterladen: spiel_17und4_augendifferenz.ggb
Im letzten Abschnitt hast du die Wahrscheinlichkeiten von Augensummen mit Hilfe eines Simulationsapplets näherungsweise bestimmt.
Zielsetzung
Ziel der folgenden Überlegungen ist es, die Wahrscheinlichkeiten der Augensumme exakt zu bestimmen.Die Wahrscheinlichkeiten für Augensummen berechnen
Aufgabe 1
Die möglichen Ergebnisse und ihre Wahrscheinlichkeiten beim Zufallsexperiment „2 Würfel werfen und die Augenzahlen beobachten“ lassen sich sehr gut mit der folgenden Darstellung bestimmen.
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$\frac{1}{36}$ | |||||
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(a) Begründe, dass der Eintrag $\frac{1}{36}$ zum Ergebnis $11$ (also „roter Würfel eine 1 und orangefarbener Würfel eine 1“) sinnvoll ist.
(b) Erkläre, wie die Einträge in den anderen Feldern ausgefüllt werden müssen. (Du kannst zum Notieren deiner Ergebnisse Seite 1 des folgenden Dokumentationsblattes nutzen.)
Aufgabe 2
(a) Erkläre die Einträge der Zeile zu $S_2$ in der folgenden Tabelle:
| Ereignis | zugehörige Ergebnisse | Wahrscheinlichkeit |
| $S_{2}$: Die Summe der Augenzahlen beträgt 2. | $S_{2}$: 11 | $P(S_{2}) = \frac{1}{36}$ |
| $S_{3}$: Die Summe der Augenzahlen beträgt 3. | $S_{3}$: ... | $P(S_{3}) = ...$ |
| $S_{4}$: Die Summe der Augenzahlen beträgt 4. | $S_{4}$: 31, 22, 13 | $P(S_{4}) = ...$ |
| $S_{5}$: Die Summe der Augenzahlen beträgt 5. | $S_{5}$: ... | $P(S_{5}) = \frac{4}{36}$ |
| $S_{6}$: Die Summe der Augenzahlen beträgt 6. | $S_{6}$: ... | $P(S_{6}) = ...$ |
| $S_{7}$: Die Summe der Augenzahlen beträgt 7. | $S_{7}$: ... | $P(S_{7}) = ...$ |
| $S_{8}$: Die Summe der Augenzahlen beträgt 8. | $S_{8}$: ... | $P(S_{8}) = ...$ |
| $S_{9}$: Die Summe der Augenzahlen beträgt 9. | $S_{9}$: ... | $P(S_{9}) = ...$ |
| $S_{10}$: Die Summe der Augenzahlen beträgt 10. | $S_{10}$: ... | $P(S_{10}) = ...$ |
| $S_{11}$: Die Summe der Augenzahlen beträgt 11. | $S_{11}$: ... | $P(S_{11}) = ...$ |
| $S_{12}$: Die Summe der Augenzahlen beträgt 12. | $S_{12}$: ... | $P(S_{12}) = ...$ |
(b) Ergänze in der folgenden Tabelle die fehlenden Einträge. (Du kannst zum Notieren deiner Ergebnisse die Seite 2 des folgenden Dokumentationsblattes nutzen.)
Aufgabe 3
🖊️ Bestimme analog die Wahrscheinlichkeiten für vorgegebene Augendifferenzen. Du kannst zum Notieren deiner Ergebnisse das folgende Dokumentationsblatt (Seite 2) nutzen.
| Ereignis | zugehörige Ergebnisse | Wahrscheinlichkeit |
| $D_{0}$: Die Differenz der Augenzahlen beträgt 0. | $D_{0}$: 11, ... | $P(D_{0}) = ...$ |
| $D_{1}$: Die Differenz der Augenzahlen beträgt 1. | $D_{1}$: ... | $P(D_{1}) = ...$ |
| $D_{2}$: Die Differenz der Augenzahlen beträgt 2. | $D_{2}$: ... | $P(D_{2}) = ...$ |
| $D_{3}$: Die Differenz der Augenzahlen beträgt 3. | $D_{3}$: ... | $P(D_{3}) = ...$ |
| $D_{4}$: Die Differenz der Augenzahlen beträgt 4. | $D_{4}$: ... | $P(D_{4}) = ...$ |
| $D_{5}$: Die Differenz der Augenzahlen beträgt 5. | $D_{5}$: ... | $P(D_{5}) = ...$ |
Aufgabe 4
(a) Betrachte die Summenvariante des Spiels. Der Spielstand beträgt 17 Punkte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mit dem nächsten Würfelwurf die 21 überschritten wird? Bestimme diese Wahrscheinlichkeit und dokumentiere deine Überlegungen im Heft.
(b) Betrachte die Differenzenvariante des Spiels. Der Spielstand beträgt 17 Punkte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mit dem nächsten Würfelwurf die 21 überschritten wird? Bestimme diese Wahrscheinlichkeit und dokumentiere deine Überlegungen im Heft.
(c) Betrachte die freie Variante des Spiels. Der Spielstand beträgt 18 Punkte. Sollte jetzt beim nächsten Würfelwurf auf die Summe oder die Differenz gesetzt werden? Beurteile die Spielchancen mit Hilfe geeigneter Wahrscheinlichkeiten.
Aufgabe 5
Betrachte die freie Variante des Spiels.
(a) Ist es sinnvoll bei dem ersten Würfelwurf immer auf die Summe oder immer auf die Differenz zu setzen? Begründe deine Antwort.
(b) Ab welchem Punktestand ist es sinnvoll nicht auf die Summe zu setzten, wenn die Wahrscheinlichkeit die Punktzahl 21 zu überschreiten kleiner als 10% sein soll? Begründe deine Antwort mit Hilfe geeigneter Wahrscheinlichkeiten.
