Vertiefung – Geschicktes Vorgehen
Zur Auswahl
Auf dieser Seite wirst du kennenlernen, wie man bei Baumdiagrammen geschickt vorgehen kann:
① Das Gegenereignis nutzen
② Ein verkürztes Baumdiagramm nutzen
Die Spielsituation
Wir betrachten eine Situation beim Spiel Mensch ärgere dich nicht: Um eine Spielfigur auf das Spielfeld zu bringen, muss eine 6 gewürfelt werden. Dafür hat man maximal drei Versuche.
Leitfrage
Wie wahrscheinlich ist es, bei den drei ersten Würfen eine 6 zu erhalten?
① Das Gegenereignis nutzen
Aufgabe 1
Hier siehst du ein vollständiges Baumdiagramm, das die Situation der obigen Leitfrage beschreibt:
Zum Herunterladen: baum_3malwuerfeln_4.ggb
(a) Erkläre, weshalb es geschickt ist, nur die Fälle $6$ und $\overline6$ zu unterscheiden.
(b) Zuerst der umständliche Weg: Betrachte alle Ergebnisse, wo mindestens eine 6 auftritt, und berechne die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass mindestens eine 6 auftritt.
(c) Nun die geschickte Variante: Das einzige Ereignis, wo keine 6 auftritt, ist $\overline6\,\overline6\,\overline6$. Berechne dessen Wahrscheinlichkeit. Damit kannst du direkt auch die Wahrscheinlichkeit aus (b) berechnen.
Aufgabe 2
(a) Erkläre, wie man mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit Rechenarbeit sparen kann.
(b) Vervollständige folgenden Satz:
Gegenereignis nutzen
② Ein verkürztes Baumdiagramm nutzen
Hier siehst du ein vollständiges Baumdiagramm, das die Situation der obigen Leitfrage beschreibt:
Zum Herunterladen: baum_3malwuerfeln_4.ggb
Aufgabe 3
(a) Lasse im Baumdiagramm alle Zweige weg, die du zur Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit nicht benötigst. Zeichne dieses verkürzte Baumdiagramm auf und berechne damit die in der Leitfrage gesuchte Wahrscheinlichkeit.
(b) Ergänze den folgenden Satz.
Es geht noch schneller ...
Aufgabe 4
Wenn du das Gegenereignis aus ① nutzt und dazu ein verkürztes Baumdiagramm zeichnest, erhältst du diese Darstellung:
|----- $\overline6$ ------ $\overline6$ ------ $\overline6$
Berechne damit die Wahrscheinlichkeit aus der Leitfrage.
Eine weitere Verallgemeinerung betrachten
Zusatzaufgabe 5
Wir lösen uns von den Regeln beim Spiel „Mensch ärgere dich nicht“ und betrachten folgendes Zufallsexperiment: Ein Würfel wird solange geworfen, bis eine 6 fällt. Dabei wird beobachtet, ob bei den jeweiligen Würfen eine 6 oder keine 6 fällt.
Leitfrage
Wie wahrscheinlich ist es, dass nach 1, 2, 3, ... Würfen immer noch keine 6 gefallen ist?
Wir ändern das oben verwendete Baumdiagramm zur Mensch ärgere dich nicht
-Situation etwas ab:
Zum Herunterladen: baum_3malwuerfeln_6.ggb
(a) Ergänze die Ergebnismenge um drei weitere Elemente. Begründe, dass die Ergebnismenge hier unendlich viele Elemente hat.
Ergebnismenge: $\Omega = \{6, \overline{6}\,6, ... \}$
(b) Ergänze die Wertetabelle zur Wahrscheinlichkeitsfunktion um drei Einträge.
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
| $\boldsymbol{e}$ | $6$ | $\overlinepatch{6} ~ 6$ | ... | ... | ... | ... |
| $\boldsymbol{P(e)}$ | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
