Erarbeitung – Ergebnisse

Wir betrachten das folgende Zufallsexperiment:

Ein Würfel wird genau 3-mal geworfen. Dabei wird beobachtet, ob bei den einzelnen Würfen eine 6 oder keine 6 fällt.

Die Situation darstellen

Aufgabe 1

Stelle die Situation in einem Baumdiagramm dar. Überlege dir dazu, wie viele Stufen du benötigst, und welches Zufallsexperiment in jeder Stufe auftritt.

💡 Tipp

Nutze nur die beiden Ergebnisse $6$ und $\overline{6}$, damit dein Baumdiagramm kompakt bleibt.

Aufgabe 2

Blende zur Kontrolle das Baumdiagramm ein und gleiche beide mit Blick auf folgende Fragen ab:

(a) Stimmen die Anzahl der Stufen und die Äste?

(b) Am Ende der Pfade sind Tripel notiert (z. B. $6\,\overline6\,\overline6$). Was bedeuten diese?

🔑 Kontrolle

(c) Das Zufallsexperiment dreimaliges Würfelwerfen hat die folgende Ergebnismenge, wenn wir nur betrachten, ob eine 6 auftritt oder nicht. Vervollständige: $\Omega=\{.......\}$.

(d) Zusatzaufgabe

Es gibt viele Möglichkeiten ein Ergebnis bei dem oben dargestellten Zufallsexperiment zu beschreiben. Beurteile die folgenden Vorschläge mit Einschätzungen wie z.B. (gut) geeignet, (eher) ungeeignet:

• $(1, 4, 6)$:
  Beim 1. Wurf die Augenzahl 1, beim 2. Wurf die Augenzahl 4 und beim 3. Wurf die Augenzahl 6.
• $146$:
  Beim 1. Wurf die Augenzahl 1, beim 2. Wurf die Augenzahl 4 und beim 3. Wurf die Augenzahl 6.
• $(\overline{6} , \overline{6} , 6)$:
  Beim 1. Wurf und 2. Wurf keine 6 und beim 3. Wurf eine 6.
• ${\overline{6}} - {\overline{6}} - 6$:
  Beim 1. Wurf und 2. Wurf keine 6 und beim 3. Wurf eine 6.
• $\overline{6}\,\overline{6}\,6$:
  Beim 1. Wurf und 2. Wurf keine 6 und beim 3. Wurf eine 6.

Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen bestimmen

Aufgabe 3

Blende wieder das Baumdiagramm ein:

Baumdiagramm

(a) Erkläre die Bedeutung der beiden blauen Brüche an den Ästen der ersten Stufe.

(b) Ergänze an allen weiteren Ästen die passenden Astwahrscheinlichkeiten.

(b) Benutze zunächst das GeoGebra-Applet, um die Wahrscheinlichkeitsangaben in Aufgabe (b) zu kontrollieren:

🔑 Kontrolle

Zum Herunterladen: baum_3malwuerfeln_2.ggb

Aufgabe 4

Hier siehst du den entsprechenden Pfad:

Wir stellen uns vor, dass wir das Experiment (dreimaliges Würfel) ganz oft wiederholen. Die Wiederholungszahl $n$ gibt an, wie oft das Experiment wiederholt wird. (Die Zahlen, die für $n$ eingestellt werden können, wirken zunächst etwas merkwürdig. Sie sind so gewählt, dass die Rechnungen einfache Zahlenwerte liefern)

(a) Stelle die Wiederholungszahl $n$ auf den höchsten Wert $n = 2160$ ein. Berechne konkrete Zahlwert:

• Wie oft von den 2160 Malen fällt im ersten Wurf voraussichtlich die 6?
• Wie oft von diesen Fällen fällt im zweiten Wurf voraussichtlich keine 6?
• Wie oft von diesen Fällen fällt im dritten Wurf voraussichtlich die 6?
• Wie oft tritt also voraussichtlich das Ergebnis $6\,\overline6\,6$ ein?

(b) Kontrolliere deine Rechnungen durch Schieben des schwarzen Schiebereglers.

(c) Berechne wie in (a) für die sieben verbleibenden Ergebnisse die voraussichtliche absolute Häufigkeit bei einer Wiederholungszahl von $n=2160$.

🔑 Kontrolle

Zum Herunterladen: baum_3malwuerfeln_3.ggb

Aufgabe 5 - Wahrscheinlichkeiten festlegen

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses beschreibt die erwartete relative Häufigkeit des Ergebnisses bei einer langen Versuchsreihe.

Wir nutzen die Überlegungen und Berechnungen aus Aufgabe 1, um die Wahrscheinlichkeiten beim Zufallsexperiment 3-mal würfeln festzulegen.

(a) Beschreibe und erkläre mit Hilfe des folgenden GeoGebra-Applets ein Verfahren, mit dem man die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses beim Zufallsexperiment 3-mal würfeln erhält.

Zum Herunterladen: pfadregel.ggb

(b) Bestimme analog die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse beim Zufallsexperiment 3-mal würfeln.

Die ermittelten Wahrscheinlichkeiten kannst du hier kontrollieren:

🔑 Kontrolle

Zum Herunterladen: baum_3malwuerfeln_4.ggb

(c) Beantworte die Leitfrage: