Strukturierung – Ereignisse verknüpfen
Auf der vorherigen Seite hast du Ereignisse durch UND sowie ODER verknüpft, beispielsweise:
Haus B erhält Ressourcen UND Haus C erhält Ressourcen
Leitfrage
Wie beschreibt man Verknüpfungen mathematisch?Begriffe und Schreibweisen festlegen (Auffrischung)
Aufgabe 1
Im folgenden Applet siehst du die Gesamtmenge $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ und darin zwei noch leere Mengen $X$ und $Y$:(a) Verschiebe die Zahlen 1 bis 6. Die sechs grauen Mengenschreibweisen verändern sich entsprechend. Ermittle so, wofür die vier Schreibweisen stehen:
- $X\cap Y$
- $X\cup Y$
- $X\setminus Y$
- $\overline{X}$
(b) Klicke auf die sechs grauen Mengenschreibweisen. Kontrolliere mit der Färbung, ob du bei (a) richtig gelegen hast.
(c) Dir ist sicher das Symbol $\emptyset$ aufgefallen. Erkläre, was es bedeutet und warum man stattdessen auch $\{\,\}$ schreiben kann.
(d)Ordne die fünf Fachbegriffe Vereinigungsmenge, Komplementärmenge, leere Menge, Schnittmenge und Differenzmenge den folgenden Schreibweisen zu:
- $X\cap Y$
- $X\cup Y$
- $X\setminus Y$
- $\overline{X}$
- $\emptyset$ bzw. $\{\,\}$
Ergänze passend die Sprechweisen $X$ vereinigt $Y$
und $X$ geschnitten $Y$
.
Aufgabe 2
Hier findest du weitere Begriffe:- Zwei Mengen mit leerer Schnittmenge nennt man disjunkt
- Die Notation $X \subseteq Y$ wird folgendermaßen gelesen:
$X$ ist eine Teilmenge von $Y$.
Das bedeutet: Jedes Element von $X$ ist auch ein Element von $Y$.
(a) $X$ und $Y$ sind disjunkt.
(b) $X$ ist eine Teilmenge von $Y$.
(c) $X\cup Y=\{2,5\}$.
(d) $\overline{X}\cap Y=\{1,3\}$.
Mengenschreibweisen anwenden
Diese Mengenschreibweisen lassen sich auf Ereignisse anwenden, da diese Mengen von Ergebnissen sind.
Aufgabe 3
Wir betrachten abstrakt für eine Ergebnismenge $\Omega$ zwei Ereignisse $X$ und $Y$.
(a) Ordne den Mengenschreibweisen die passende Bedeutung zu.
Quelle: LearningApps
(b) Übertrage die Sprechweisen in die folgende Tabelle.
| Mit Mengenoperationen | In Worten |
|---|---|
| $X \cap Y$ | … |
| $X \cup Y$ | … |
| $\overlinepatch{X}$ | … |
| $X \cap{} \overlinepatch{Y}$ | … |
Aufgabe 4
Beschreibe die folgenden Mengen mithilfe der Ereignisse $A$, $B$ und $C$ (Haus A/B/C erhält eine Ressource
) sowie geeigneter Mengenoperationen.
Aufgabe 5
Notiere dir Erklärungen zu den Begriffen Vereinigungsmenge, Schnittmenge, Gegenereignis und unvereinbare Ereignisse im Glossar. Übernimm am besten auch passende Mengen-Diagramme.
Regeln aufstellen und formulieren
Aufgabe 6
In dieser Aufgabe untersuchst du Zusammenhänge zwischen Aussagen über Ereignisse.
(a)
Markiere alle Beziehungen zwischen den unten stehenden Aussagen für Ereignisse im Wahrscheinlichkeitsmodell für Die Siedler von Catan
:
- Wenn aus Aussage 1 folgt, dass auch Aussage 2 gilt, dann zeichne einen Pfeil von Aussage 1 zu Aussage 2.
- Wenn umgekehrt auch aus Aussage 2 folgt, dass Aussage 1 gilt, sind die Aussagen gleichwertig. Zeichne dann einen Pfeil mit Spitzen an beiden Enden.
- Einige Aussagen sind allgemeingültig. Kreise diese Aussagen ein und zeichne an sie keine Pfeile.
Es empfiehlt sich, die Aussagen vor dem Einzeichnen der Pfeile erst in Gruppen anzuordnen.
Zum Herunterladen: mengenbeziehungen.ggb
💡 Hilfe
Orientiere dich an den folgenden Mengendiagrammen:
(b)
Gib auf dem Spielfeld von Die Siedler von Catan
für jede Gruppe gleichwertiger Aussagen passende Positionen für Häuser als Mengen von Würfelsummen an oder begründe, warum das nicht möglich ist.
Überprüfe anschließend, ob du in Teil (a) Zusammenhänge von Aussagen übersehen hast.
Zum Herunterladen: catan_spielfeld.ggb
(c) ☠
Einige der Aussagen sind im Wahrscheinlichkeitsmodell für Die Siedler von Catan
gleichwertig, aber nicht für jedes Wahrscheinlichkeitsmodell.
Definiere losgelöst vom Spiel ein Wahrscheinlichkeitsmodell mit Ergebnismenge $\Omega$ und Wahrscheinlichkeitsfunktion $P$, mit dem du eine Gleichwertigkeit von zwei Aussagen von oben aufheben kannst.
Gib Ereignisse an, die diese Gleichwertigkeit verletzen.
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
Aufgabe 7
Du hast beim Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten im Spiel Siedler von Catan sicher intuitiv schon Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten benutzt. Für Ereignis-Wahrscheinlichkeiten gelten nämlich einige Rechenregeln, die meist anschaulich sehr klar sind.
(a) Erkläre die folgenden fünf Regeln an einem konkreten Beispiel.
(b) Notiere dir die Regeln, die dir nicht ohnehin schon klar erscheinen.
Sicheres und unmögliches Ereignis
Für das sichere Ereignis $\Omega$ und das unmögliche Ereignis $\emptyset$ gilt:
$P(\Omega) = 1$ und $P(\emptyset) = 0$
Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses
Für die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $\overlinepatch{X}$ zu einem Ereignis $X$ gilt:
$P(X) + P(\overlinepatch{X}) = 1$
$P(\overlinepatch{X}) = 1 - P(X)$
Unvereinbare Ereignisse
Für zwei unvereinbare Ereignisse $X$ und $Y$ gilt:
$P(X \cap Y) = 0$
$P(X \cup Y) = P(X) + P(Y)$
Additionssatz
Für zwei Ereignisse $X$ und $Y$ gilt:
$P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$
Teilmengenregel
Wenn ein Ereignis $X$ Teilmenge eines Ereignisses $Y$ ist – also $X \subseteq Y$ –, dann gilt $P(X) \leq P(Y)$.
