Strukturierung – Ereignisse
Einstieg – die Ausgangssituation klären
Im letzten Kapitel hast du dich bei der Analyse des 17-und-4-Spiels mit folgender Leitfrage beschäftigt:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Werfen von zwei Würfeln, eine bestimmte Augensumme zu erzielen?
Zielsetzung
Ausgehend von den Überlegungen zur Bearbeitung der obigen Frage führen wir hier die gebräuchlichen Fachbegriffe ein und verallgemeinern das bereits intuitiv benutzte Verfahren.
Erarbeitung – Ereignisse beschreiben und ihre Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Wir betrachten das Werfen von zwei Standardwürfeln und beschreiben es mit dem folgenden Modell:
Beispiel: 2-Würfel-Augen-Modell
| Realität | Modell |
|---|---|
| Zufallsexperiment: zwei Standardwürfel werfen und dabei die Augenzahlen der beiden Würfel beobachten |
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| Ausgänge: 11:   12:  ... |
Ergebnismenge: $\Omega = \{ 11, 12, 13, ..., 21, 22, 23, ..., 64, 65, 66 \}$ |
| Wahrscheinlichkeitsannahme: Alle 36 Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich. |
Wahrscheinlichkeitsfunktion: $P(e) = \frac{1}{36}$ für alle Ergebnisse $e$ aus $\Omega$ |
Mit den Einzel-Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse konnten wir wenig anfangen. Wir untersuchten nämlich Ereignisse, die aus mehreren Ergebnissen bestanden, beispielsweise $S_5=\{14,23,32,41\}$. Mithilfe der Mengenschreibweise konnten wir aber die gesuchten Wahrscheinlichkeiten bestimmen.
In der folgenden Übersicht sind einige Resultate aus dem letzten Kapitel eingetragen:
Beispiel: Ereignisse im 2-Würfel-Augen-Modell
| Realität | Modell |
|---|---|
| Ausgänge: $S_{2}$: die Summe der Augenzahlen beträgt 2 $S_{3}$: die Summe der Augenzahlen beträgt 3 ... $S_{12}$: die Summe der Augenzahlen beträgt 12 |
Ereignisse: $S_{2} = \{11\}$ $S_{3} = \{12, 21\}$ $S_{4} = \{ ... \}$ ... $S_{12} = \{ ... \}$ |
| Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse: $P(S_{2}) = \frac{1}{36}$ $P(S_{3}) = ...$ $P(S_{4}) = ...$ ... $P(S_{12}) = ...$ |
Aufgabe 1
(a) Ergänze einige Lücken in der Modell-Spalte oben.
(b) Erkläutere den Zusammenhang zwischen Ergebnissen und Ereignissen.
(c) Beschreibe, wie du vorgegangen bist, um die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse zu bestimmen.
Aufgabe 2 (optional zur Vertiefung)
Aufgabe hier einblenden
Wir betrachten hier das Zufallsexperiment „2 Pyramidenwürfel werfen und dabei die Augenzahlen der beiden Würfel beobachten“. Die Übersicht gibt Schätzungen der Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Ergebnisse dieses Zufallsexperiments an. Beachte, dass die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse hier – im Gegensatz zum entsprechenden Zufallsexperiment mit den Standardwürfeln – nicht alle gleich sind. Wie sich diese Wahrscheinlichkeitswerte ergeben, wird im Kapitel Mehrstufige Zufallsexperimentegezeigt.
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$0.16$ | $0.06$ | $0.06$ | $0.06$ | $0.06$ | $0.02$ |
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$0.06$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0075$ |
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$0.06$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0075$ |
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$0.06$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0075$ |
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$0.06$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0075$ |
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$0.02$ | $0.0075$ | $0.0075$ | $0.0075$ | $0.0075$ | $0.0025$ |
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse für das Zufallsexperiment mit den Pyramidenwürfeln.
$S_{2} = \{ 11 \}$ bzw. die Summe der Augenzahlen beträgt 2
$S_{3} = \{ 12, 21 \}$ bzw. die Summe der Augenzahlen beträgt 3
$S_{9} = \{ 36, 45, 54, 63 \}$ bzw. die Summe der Augenzahlen beträgt 9
Aufgabe 3
Wir verallgemeinern unsere Erkenntnisse:
(a) Ergänze diese Definition und notiere sie dir im Glossar.
Ein Ereignis bei einem Zufallsexperiment wir mathematisch beschrieben als ...
(b) Ergänze diese Zusammenhänge und trage auch sie im Glossar beim Begriff Ereignis ein.
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $A=\{e_1, e_2, \ldots\}$ bei einem beliebigen Zufallsexperiment erhält man so: ...
Bei Laplace-Experimenten kann die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses auch so bestimmt werden: ...
(c) Drei Ereignisse erhalten einen besonderen Namen. Erkläre, warum diese Namen sinnvoll sind, und übernimm die Definitionen ins Glossar.
Das Ereignis $E = \Omega$ heißt sicheres Ereignis.
Das Ereignis $E = \emptyset$ (leere Menge) heißt unmögliches Ereignis.
Ein Ereignis, das nur ein Ergebnis enthält, heißt Elementarereignis.
