Erarbeitung
Leitfrage
Wie groß sind die Chancen der einzelnen Häuser, Ressourcen zu erhalten?
Das Spiel mathematisch modellieren
Aufgabe 1
Im Spiel werden zwei Standardwürfel geworfen. Die Wahrscheinlichkeiten für Augensummen dafür haben wir schon auf den vorherigen Seiten (beim 17-und-4-Spiel) kennengelernt.
(a) Trage die Wahrscheinlichkeiten in diesem Applet ein:
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
\begin{array}
&&& \textit{Passende Konstellationen der Würfel} \\
P(2) &=& \placeholder[s2]{\frac{1}{36}} & \wuerfel{1}{1} \\
P(3) &=& \placeholder[s3]{\frac{\placeholder{}}{36}} & \wuerfel{1}{2} \wuerfel{2}{1} \\
P(4) &=& \placeholder[s4]{\frac{\placeholder{}}{36}} & \wuerfel{1}{3} \wuerfel{2}{2} \wuerfel{3}{1} \\
P(5) &=& \placeholder[s5]{\frac{\placeholder{}}{36}} & \wuerfel{1}{4} \wuerfel{2}{3} \wuerfel{3}{2} \wuerfel{4}{1} \\
P(6) &=& \placeholder[s6]{\frac{\placeholder{}}{36}} & \wuerfel{1}{5} \wuerfel{2}{4} \wuerfel{3}{3} \wuerfel{4}{2} \wuerfel{5}{1} \\
P(7) &=& \placeholder[s7]{\frac{\placeholder{}}{36}} & \wuerfel{1}{6} \wuerfel{2}{5} \wuerfel{3}{4} \wuerfel{4}{3} \wuerfel{5}{2} \wuerfel{6}{1} \\
P(8) &=& \placeholder[s8]{\frac{\placeholder{}}{36}} & \wuerfel{2}{6} \wuerfel{3}{5} \wuerfel{4}{4} \wuerfel{5}{3} \wuerfel{6}{2} \\
P(9) &=& \placeholder[s9]{\frac{\placeholder{}}{36}} & \wuerfel{3}{6} \wuerfel{4}{5} \wuerfel{5}{4} \wuerfel{6}{3} \\
P(10) &=& \placeholder[s10]{\frac{\placeholder{}}{36}} & \wuerfel{4}{6} \wuerfel{5}{5} \wuerfel{6}{4} \\
P(11) &=& \placeholder[s11]{\frac{\placeholder{}}{36}} & \wuerfel{5}{6} \wuerfel{6}{5} \\
P(12) &=& \placeholder[s12]{\frac{\placeholder{}}{36}} & \wuerfel{6}{6} \\
\end{array}
(b) Dir ist vielleicht aufgefallen, dass wir die Ereignisse bisher mit $S_2, \ldots,S_{12}$ bezeichnet haben. Dabei war zum Beispiel $S_5$ die Menge $\{14,23,32,41\}$ und beschrieb das Ereignis, dass man als Augensumme eine 5 erhält. Jetzt wollen wir statt $S_5$ nur noch $5$ schreiben. Ergänze:
- $P(5)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass ...
- Ein Ergebnis ist beispielsweise ...
- Die vollständige Ergebnismenge lautet dann: $\Omega= \{\ldots, 5, \ldots\}$
- Ein Ereignis ist beispielsweise $\{...\}$.
(b) Notiere die Wahrscheinlichkeiten in der Tabelle auf diesem Dokumentationsblatt.
Das Spiel untersuchen
Aufgabe 2: Das beste Haus
Wir betrachten das gleiche Spielfeld wie im Einstieg.
Welches Haus hat die vielversprechendste Position?
Dieser Frage wollen wir jetzt nachgehen.
Zum Herunterladen: catan.ggb
(a)
Notiere für jedes Haus die passenden Augensummen als Ereignisse. Fülle dazu aus:
\begin{array}{l@{\qquad}l}
\textbf{In Worten} & \textbf{Als Menge} \\
\textit{Haus A erhält eine Ressource.} & A = \{\placeholder[haus-a]{}\} \\
\textit{Haus B erhält eine Ressource.} & B = \{\placeholder[haus-b]{}\} \\
\textit{Haus C erhält eine Ressource.} & C = \{\placeholder[haus-c]{}\}
\end{array}
(b)
Berechne für jedes Haus die Wahrscheinlichkeit, dass es in einem Spielzug eine Ressource liefert.
Prüfe deine Lösung mit dem obigen Applet, indem du 100-mal würfelst.
\begin{align*}
P(A) &= \placeholder[wahrscheinlichkeit-haus-a]{} \\
P(B) &= \placeholder[wahrscheinlichkeit-haus-b]{\placeholder{} + \ldots = \placeholder{}} \\
P(C) &= \placeholder[wahrscheinlichkeit-haus-c]{\placeholder{} + \ldots = \placeholder{}}
\end{align*}
(c) Dokumentiere dir deine Ergebnisse z. B. auf diesem Dokumentationsblatt.
(d) 👤👤
Ist eins der drei Häuser schon an einer optimalen Position?
Gib eine bessere Position inklusive Rechnung an oder begründe, dass es keine bessere Position gibt.
Teamarbeit bietet sich an, um Rechnungen aufzuteilen.
💡 Tipp zu (d)
Unabhängig von den konkreten Zahlenwerten auf den Spielfeldern lässt sich die Auswahl auf 18 Positionen eingrenzen.
Aufgabe 3: Ereignisse verknüpfen
Angenommen, dir gehören mehrere Häuser. Dann ist die folgende Frage interessant:
Leitfrage
Wie groß sind die Chancen für mehrere Häuser, Ressourcen zu erhalten?
(a) Beschreibe die folgenden Konstellationen beim Würfeln als Ereignisse und berechne ihre Wahrscheinlichkeiten.
\begin{multline}
\begin{array}{l@{\qquad}lll}
\textbf{In Worten} & \textbf{Als Menge} & \textbf{Wahrscheinlichkeit} \\
\textit{Haus B und Haus C erhalten beide eine Ressource.} & E_1 = \{\placeholder[menge-ereignis-1]{}\} & P(E_1) = \placeholder[wahrscheinlichkeit-ereignis-1]{} \\
\textit{Haus B oder Haus C erhält eine Ressource (ggf. auch beide).} & E_2 = \{\placeholder[menge-ereignis-2]{}\} & P(E_2) = \placeholder[wahrscheinlichkeit-ereignis-2]{} \\
\textit{Haus B erhält keine Ressource.} & E_3 = \{\placeholder[menge-ereignis-3]{}\} & P(E_3) = \placeholder[wahrscheinlichkeit-ereignis-3]{} \\
\textit{Haus B erhält eine Ressource, aber nicht Haus A.} & E_4 = \{\placeholder[menge-ereignis-4]{}\} & P(E_4) = \placeholder[wahrscheinlichkeit-ereignis-4]{} \\
\textit{Kein Haus erhält eine Ressource.} & E_5 = \{\placeholder[menge-ereignis-5]{}\} & P(E_5) = \placeholder[wahrscheinlichkeit-ereignis-5]{}
\end{array}
\end{multline}
Hinweis: Der Fall „oder“ ist in der Mathematik so definiert, dass auch beide Häuser eine Ressource erhalten dürfen. (Es ist also nicht nur „entweder–oder“ gemeint.)
Hier siehtst du nochmal die Wahrscheinlichkeiten, die du oben eingegeben hast:
(b) Notiere dir deine Ergebnisse z.B. auf diesem Dokumentationsblatt.
