Erarbeitung

Zur Orientierung

Wir beschäftigen uns jetzt mit folgender Fragestellung:

Zur Klärung dieser Frage werden wir das Verhalten der Fahrzeuge als Zufallsexperiment ansehen und mit geeigneten Mitteln simulieren.

Die Ausgangssituation beschreiben und analysieren

Bei der Planung der Simulation muss das zu simulierende Zufallsexperiment erst einmal genau erfasst und beschrieben werden.

Aufgabe 1

(a) Beschreibe das zu simulierende Zufallsexperiment möglichst präzise. Im Folgenden einige Aspekte, die dabei zu beachten sind:

• Wo kommt der Zufall bei dem betrachteten Vorgang ins Spiel?
• Aus welchen Teilvorgängen ist der betrachtete Vorgang evtl. aufgebaut?
• Welche Annahmen werden über den Vorgang gemacht?
• Welche Informationen (z. B. Wahrscheinlichkeiten von Teilvorgängen) sind bekannt?
• Was genau wird beobachtet?

(b) Beschreibe möglichst präzise, welche Wahrscheinlichkeit(en) ermittelt werden soll(en).

Einen Zufallszahlengenerator verwenden

Im letzten Kapitel hast du Zufallsgeräte wie Würfel und Münzen zur Simulation benutzt. Einfacher und flexibler geht das oft, wenn einem geeignete Zufallszahlen zur Verfügung stehen. Wir nutzen hier einen Zufallszahlengenerator, der automatisiert passende Blöcke von Zufallszahlen erzeugt.

Anleitung für den Zufallszahlengenerator

• Mit [Minimum] und [Maximum] kann der Bereich eingestellt werden, in dem die Zufallszahlen liegen. Beachte, dass mit dem vorliegenden Generator nur natürliche Zahlen als Zufallszahlen erzeugt werden können.
• Die [Größe des Blocks] gibt an, wie viele Zufallszahlen aus dem eingestellten Bereich erzeugt werden sollen.
• Mit [Anzahl der Blöcke] wird festgelegt, wie viele Blöcke mit Zufallszahlen erzeugt werden sollen. Damit lässt sich einstellen, wie oft ein Zufallsexperiments durchgeführt werden soll.
• Die Einstellung [Wiederholte Werte erlauben] legt fest, dass eine Zufallszahl in einem Block wiederholt vorkommen kann.
• Die Einstellung [Reihenfolge der Werte verwerfen] führt dazu, dass die erzeugten Zufallszahlen sortiert dargestellt werden.

Aufgabe 2

Mache dich erst einmal mit dem Zufallszahlengenerator vertraut.

(a) Führe mit [Daten generieren] den voreingestellten Zufallszahlengenerator aus. Deute das Ergebnis: Es werden ... Blöcke erzeugt. Jeder Block besteht aus ... Zufallszahlen aus dem Bereich von ... bis ....

(b) Simuliere folgende Situation: Ein Würfel wird 8-mal geworfen. Dieser Vorgang wird 20-mal wiederholt.

(c) Simuliere folgende Situation: Eine Münze wird 10-mal geworfen. Dieser Vorgang wird 100-mal wiederholt.

Das Simulationsexperiment konzipieren

Mit Hilfe eines geeigneten Zufallszahlengenerators sollst du jetzt das Simulationsexperiment konzipieren. Hier nochmal die Daten zur betrachteten Problemsituation:

• Eine Verkehrszählung hat ergeben, dass von 1000 Fahrzeugen 240 auf die Abbiegespur fahren wollen.
• Pro Rot-Phase fahren ca. zehn Fahrzeuge auf die Kreuzung.
• Auf die Abbiegespur passen drei Fahrzeuge.

Aufgabe 3

Beschreibe das konzipierte Simulationsexperiment.

Aufgabe 4

Benutze den Zufallszahlengenerator zur Erzeugung passender Zufallszahlen. Mit [Daten speichern] kannst du dir die erzeugten Zufallszahlen in einem geeigneten Format abspeichern.

Aufgabe 5

(a) Werte die Daten anschließend aus und schätze so die gesuchte Wahrscheinlichkeit ab.

(b) Mache ausgehend von weiteren Simulationsexperimenten einen Vorschlag, wie lang die Abbiegespur gewählt werden sollte.