Zusammenfassung – Simulationsmodelle
Zufallsexperimente simulieren
Die Simulation von Zufallsexperimenten eröffnet eine Möglichkeit, schwer zu bestimmende Wahrscheinlichkeiten experimentell zu ermitteln.
Bei der Simulation eines Zufallsexperiments wird ein (in der Regel reales) Ausgangszufallsexperiment mit einem (in der Regel vereinfachten) Zufallsexperiment strukturgetreu nachgebildet.
Man nutzt eine Simulation insbesondere dann, wenn Wahrscheinlichkeiten zum Ausgangszufallsexperiment nicht berechnet werden können und wenn eine wiederholte Ausführung dieses Zufallsexperiments zur Bestimmung gesuchter Wahrscheinlichkeiten nicht möglich oder zu aufwändig ist.
Bei der Entwicklung des Simulationsmodells muss die Struktur des Ausgangszufallsexperiments genau übertragen werden, damit sich die Wahrscheinlichkeiten entsprechen.
Auch sollte darauf geachtet werden, dass eine wiederholte Ausführung des Simulationsmodells leicht möglich ist. Verwendet werden dabei einfache Zufallsgeräte (wie z.B. Münzen oder Würfel) oder Zufallsgeneratoren (die Zufallszahlen automatisiert erzeugen).
Wir verdeutlichen das Vorgehen an folgendem Beispiel.
Spielausfälle beim Basketball
Schritt 1: Planung der Simulation:
| Beschreibung der Ausgangssituation | Beschreibung des Simulationsmodells |
|
Zufallsexperiment: Den Krankenstand von $8$ Spielerinnen zu einem Zeitpunkt ermitteln. Beobachtet wird die Anzahl der erkrankten Spielerinnen. Annahme: Der Krankenstand der Spielerinnen entspricht dem Krankenstand $1/3$ in der Bevölkerung. Es findet z.B. keine gegenseitige Ansteckung der Spielerinnen statt, die zu einem erhöhten Krankenstand führt. Spielerinnen, die nicht krank sind, fehlen nicht aus anderen Gründen. Struktur: Es handelt sich um ein $8$-stufiges Zufallsexperiment. In jeder Stufe beträgt die Wahrscheinlichkeit für „krank“ genau $1/3$. Gesuchte Wahrscheinlichkeit: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $4$ Spielerinnen erkrankt sind? |
Zufallsexperiment: Einen Würfel $8$-mal werfen. Beobachtet wird, ob $1,2$ (entspricht krank) oder $3,4,5,6$ (entspricht nicht krank) geworfen wird. Struktur: Es handelt sich um ein $8$-stufiges Zufallsexperiment. In jeder Stufe beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „$1$ oder $2$“ genau $1/3$. Gesuchte Wahrscheinlichkeit: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man mindestens $4$-mal das Ereignis „$1$ oder $2$“ erhält? Abschätzung der Wahrscheinlichkeit: Wiederholte Durchführung des Zufallsexperiment: hier $100$-mal. |
Schritt 2: Durchführung der Simulation:
Protokoll der erzielten Simulationsergebnisse:
| Durchführung | W 1 Sp 1 |
W 2 Sp 1 |
W 3 Sp 1 |
W 4 Sp 1 |
W 5 Sp 1 |
W 6 Sp 1 |
W 7 Sp 1 |
W 8 Sp 1 |
Anzahl 1 oder 2 Anzahl erkrankt |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 1 | 4 | 6 | 5 | 5 | 2 | 2 | 3 |
| 2 | 3 | 3 | 6 | 4 | 1 | 5 | 4 | 2 | 2 |
| ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
Schritt 3: Auswertung der Simulation:
| Deutung in der Ausgangssituation | Ergebnisse im Simulationsmodell |
|
Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $4$ Spielerinnen erkrankt sind, beträgt etwa $0.24$. Es muss also damit gerechnet werden, dass etwa ein Viertel der Spiele abgesagt werden muss. |
Häufigkeit: Das Ereignis „$1$ oder $2$“ ist bei $100$ Durchführungen des Zufallsexperiments $24$-mal eingetreten. Wahrscheinlichkeit: Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt ca. $0.24$. |
