Erarbeitung
Zur Orientierung
Wir lösen uns hier von speziellen Kontexten und untersuchen Bestandsrekonstruktion bei beliebigen Bestandsentwicklungen. In diesem Abschnitt betrachten wir den einfachen Fall.
Einen Bestand rekonstruieren
Wir betrachten folgende Problemsituation:
Problemstellung
Gegeben ist eine Funktion, die die Entwicklung der lokalen Änderungsraten eines Bestandes beschreibt. Die lokale Änderungsrate gibt an, um welchen Wert sich der Bestand pro Zeiteinheit bzw. pro Schrittweite ändert.
Gesucht ist die Gesamtänderung des Bestandes innerhalb eines betrachteten Intervalls.
Sprechweise: Der Bestand wird rekonstruiert. Dieses Rekonstruieren wird Integrieren genannt (Latein: integrare - wiederherstellen).
Im einfachen Fall wird die Änderungsrate mit einer Treppenfunktion beschrieben. Treppenfunktionen sind abschnittsweise konstant.
Das Applet verdeutlicht, wie man in einem solchen Fall die Gesamtänderung des Bestandes rekonstruiert. Bearbeite die Aufgabe unter dem Applet.
Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren1.ggb
Aufgabe 1
Begründe und verdeutliche anhand des Applets:
- Hier wird das Intervall von $a = 1$ bis $b = 9$ betrachtet.
- Im Intervall $1 \le x \lt 3$ ändert sich der Bestand um $2 \cdot (3-1) = 4$.
- Im Intervall $3 \le x \lt 4$ ändert sich der Bestand um $0 \cdot (4-3) = 0$.
- Im Intervall $4 \le x \lt 6$ ändert sich der Bestand um $-1.5 \cdot (6-4) = -3$.
- Im Intervall $6 \le x \lt 9$ ändert sich der Bestand um $1 \cdot (9-6) = 3$.
- Ingesamt ergibt sich im betrachteten Intervall eine Gesamtänderung $4$.
Aufgabe 2
Verdeutliche auch ganz allgemein anhand des Applets:
Bestandsrekonstruktion mit Produktsummen
Wenn die Entwicklung der Änderungsrate eines Bestandes mit einer Treppenfunktion beschrieben wird, dann kann man die Gesamtänderung des Bestandes in einem vorgegebenen Intervall $a \le x \le b$ mit Hilfe von Produktsummen der folgenden Gestalt bestimmen:
$B_a^b = \underbrace{h_1}_{\text{Änderungsrate 1. Intervall}} \cdot \underbrace{b_1}_{\text{Intervallbreite 1. Intervalls}} + \dots$
Die Produke in der Aufsummierung kann man so deuten:
- „Funktionswert mal Schrittweite“
- „Stufenhöhe mal Stufenbreite“
- „Stärke der Änderung mal Dauer der Änderung“
- „Zuflussrate mal Dauer des Zuflusses“ (im Kontext Zufluss-Abfluss-System)
Aufgabe 3
Erläutere ebenfalls anhand des Applets:
Bestandsrekonstruktion mit Flächeninhalten
Wenn die Entwicklung der Änderungsrate eines Bestandes mit einer Treppenfunktion beschrieben wird, dann kann man die Gesamtänderung des Bestandes in einem vorgegebenen Intervall $a \le x \le b$ mit einer Flächenbilanz geometrisch deuten:
Die Gesamtänderung entspricht dem orientierte Flächeninhalte zwischen der Änderungsratenfunktion und der $x$-Achse im betreffenden Intervall. Flächeninhalte von Flächen oberhalb der $x$-Achse werden dabei addiert, Flächeninhalte von Flächen unterhalb der $x$-Achse subtrahiert.
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