Übungen - Rekonstruktion eines Bestandes

Aufgabe 1

Betrachte folgende Situation - du kannst sie dir als Zufluss-Abfluss-System vorstellen.

Gegeben ist eine Funktion $B'(x)$, die die lokale Änderungsrate eines Bestandes beschreibt (Darstellung im unteren Fenster). Im Zufluss-Ablusss-System ist das die Zuflussrate.

Gesucht ist eine Funktion $B(x)$, die die Entwicklung des Bestandes erfasst (Darstellung im oberen Fenster). Wir setzen voraus, dass für den Anfangsbestand $B(0) = 0$ gilt. Im Zufluss-Ablusss-System wird mit der Funktion $B(x)$ die jeweilige Füllmenge beschrieben.

Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren4.ggb

(a) Bestimme folgende Bestandswerte (mit Hilfe von Produktsummen).

• $B(0) = 0$
• $B(2) = ...$
• $B(3) = ...$
• $B(5) = ...$
• $B(7) = 2.5 \cdot 2 + ...$

(b) Rekonstruiere mit diesen Ergebnissen den Graph der Funktion $B$. Bewege im Applet die hierfür vorgesehenen gelben Punkte an die passenden Stellen. Kontrolliere den so konstruierten Graph.

(c) Begründe: Es reicht, nur die oben vorgegebenen Bestandswerte zu bestimmen. Der Graph der Funktion $B(x)$ ist stückweise linear.

Aufgabe 2

Die Funktion $v(t)$ beschreibt die Entwicklung der momentanen Geschwindigkeit eines Wagens in einem Bezugssystem in der Einheit [km/min] (Darstellung im unteren Fenster). Beachte, dass hier auch negative Geschwindigkeitswerte vorkommen. Der Wagen bewegt sich dann auf den Koordinatenursprung zu, ansonsten von ihm weg.

Gesucht ist eine Funktion $s(t)$ in der Einheit [km], die die momentane Entfernung des Wagens vom Bezugspunkt beschreibt (Darstellung im oberen Fenster). Wir setzen voraus, dass $s(0) = 0$ gilt.

Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren5.ggb

(a) Beschreibe die Bewegung des Wagens in Worten.

(b) Bestimme folgende Werte (mit Hilfe von Produktsummen).

• $s(0) = 0$
• $s(2) = ...$
• $s(3) = ...$
• $s(5) = ...$
• $s(7) = 1.5 \cdot 2 + ...$

(c) Rekonstruiere mit diesen Ergebnissen den Graph der Funktion $s$. Bewege im Applet die hierfür vorgesehenen gelben Punkte an die passenden Stellen. Kontrolliere den so konstruierten Graph.

(d) Wie ändert sich der Graph der Funktion $s(t)$, wenn für den Anfangsbestand $s(0) = 1$ gilt? Begründe. Was ändert sich bei $s(0) = -1$?

Aufgabe 3

Die Funktion $a(t)$ beschreibt die Entwicklung der momentanen Beschleunigung eines Wagens in einer hier nicht näher festgelegten Einheit (Darstellung im unteren Fenster). Beachte, dass hier auch negative Beschleunigungswerte vorkommen.

Gesucht ist eine Funktion $v(t)$, die die momentane Geschwindigkeit des Wagens beschreibt (Darstellung im oberen Fenster). Wir setzen voraus, dass $v(0) = 0$ gilt.

Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren6.ggb

(a) Beschreibe die Bewegung des Wagens in Worten.

(b) Bestimme folgende Werte (mit Hilfe von Produktsummen).

• $v(0) = 0$
• $v(2) = ...$
• $v(3) = ...$
• $v(5) = ...$
• $v(7) = 2.5 \cdot 2 + ...$

(c) Rekonstruiere mit diesen Ergebnissen den Graph der Funktion $v$. Bewege im Applet die hierfür vorgesehenen gelben Punkte an die passenden Stellen. Kontrolliere den so konstruierten Graph.

Aufgabe 4

Jeder Haushalt ist Stromkonsument, indem er elektrische Energie verbraucht, um elektrische Geräte zu betreiben. Viele Haushalte sind inzwischen auch Stromproduzenten, indem sie selbst erzeugten elektrische Energie in das überregionale Stromnetz einspeisen. Wir gehen hier davon aus, dass an der Netzschnittstelle ein Messgerät laufend die (schwankende) elektrische Leistung $P(t)$ in der Einheit [kW] misst. Die Leistungswerte werden positiv dargestellt, wenn Energie aus dem Netz bezogen wird und negativ, wenn Energie in das Netz abgegeben wird.

Für Abrechnungen muss die Gesamtenergie $W(t)$ bestimmt werden, die vom Netzt bezogen wird. Hierfür sollst du den Verlauf der Funktion $W(t)$ - bei gegebenen Verlauf von $P(t)$ - rekonstruieren. Wir setzen voraus, dass $W(0) = 0$ gilt.

Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren7.ggb

(a) Beschreibe den abgebildeten Energiefluss in Worten.

(b) Bestimme Näherungswerte für $W(t)$ für $t = 1, 2, ..., 10$. Nutze ggf. bei der Abschätzung die Hilfe im unteren Fenster. Verdeutliche die Werte mit Punkten im oberen Fenster. Kontrolliere sie abschließend im Applet.

(c) Lasse dir im oberen Fenster die Kontrolle einblenden. Erkläre, warum man die entstehenden Punkte nicht – so wie oben – durch gerade Linien verbinden sollte. Erkläre, wie man stattdessen vorgehen sollte, wenn man beispielsweise $W(2.5)$ bestimmen will.