Vertiefung
Zur Orientierung
Wir lösen uns hier von speziellen Kontexten und untersuchen Bestandsrekonstruktion bei beliebigen Bestandsentwicklungen. In diesem Abschnitt betrachten wir den komplexeren Fall.
Einen Bestand näherungsweise rekonstruieren
Schwieriger ist die Rekonstruktion, wenn die lokale Änderungsrate mit einer Funktion beschrieben wird, die keine Treppenfunktion ist. Das folgende Applet zeigt eine solche Ausgangssituation.
Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren2.ggb
Aufgabe 1
Erläutere anhand des Applets:
(a) Die vorgegebene Änderungsratenfunktion wird mit einer Treppenfunktion mit $4$ Treppenstufen angenähert. Die Intervallbreite bzw. Stufenbreite beträgt hier $2$. Die Treppenstufen sind so gewählt, dass ihre Höhen genau dem vorgegebenen Funktionsgraph in den Stufenmitten entsprechen.
(b) Die Treppenfunktion wird durch folgenden Term beschrieben:
$T(x) = \left\{ \begin{array}{lll} 0.9 & \textrm{ falls } & 0 \leq x \leq 2 \\ 0.6 & \textrm{ falls } & 2 \text{ < } x \leq 4 \\ -0.5 & \textrm{ falls } & 4 \text{ < } x \leq 6 \\ 9 & \textrm{ falls } & 6 \text{ < } x \leq 8 \end{array} \right. $
(c) Mit dem Verfahren für Treppenfunktionen kann man jetzt einen Näherungswert für die Bestandsänderung im betrachteten Intervall $0 \le x \le 8$ bestimmen:
$B_0^8 \approx 0.9 \cdot 2 + 0.6 \cdot 2 + (-0.5) \cdot 2 + 0 \cdot 2 = 2.1$
Näherungswerte verbessern
Bessere Näherungswerte erhält man, wenn man die Anzahl der Stufen erhöht – und somit die Stufenbreite verringert. Im nächsten Applet kann man mit dem Schieberegler $n$ diese Anzahl schrittweise erhöhen.
Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren3.ggb
Aufgabe 2
Verdeutliche anhand des Applets:
(a) Zur Rekonstruktion eines Bestandes bei beliebigen Änderungsratenfunktionen kann man so vorgehen.
Bestandsrekonstruktion mit einen Näherungsverfahren
Wenn die lokale Änderungsrate mit einer beliebigen Funktion gegeben ist, dann kann man die Gesamtänderung des Bestandes in einem vorgegebenen Intervall $a \le x \le b$ mit einem Näherungsverfahren rekonstruieren. Die Änderungsratenfunktion wird hierzu mit einer Treppenfunktion angenähert. Für diese Treppenfunktion lässt sich die Bestandsrekonstruktion mithilfe von Produktsummen durchführen und wir erhalten auf diese Weise Näherungswerte für die Gesamtänderung des Bestandes zur vorgegeben Änderungsratenfunktion. Je kleiner die Intervallbreiten der Treppenfunktion gewählt werden, desto exakter wird die Annäherung der Treppenfunktionen an die vorgegebene Änderungsratenfunktion. Dadurch erhalten wir immer bessere Abschätzungen bei der Bestandsrekonstruktion.
(b) Im Applet sieht man ebenfalls, wie der orientierte Flächeninhalt der Treppenfunktionen den orientierten Flächeninhalt der betrachteten Ausgangsfunktion immer besser annähert.
Bestandsrekonstruktion mit Flächeninhalten
Wie im Fall der Treppenfunktion entspricht die Bestandsänderung in einem Intervall dem orientierten Flächeninhalt zwischen der Änderungsratenfunktion und der $x$-Achse im betreffenden Intervall.
Auch für beliebige Änderungsratenfunktionen kann man die Gesamtänderung des Bestandes in einem Intervall mit einer Flächenbilanz ermitteln: Flächeninhalte von Flächen oberhalb der $x$-Achse werden dabei addiert, Flächeninhalte von Flächen unterhalb der $x$-Achse subtrahiert.
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