Erarbeitung
Zur Orientierung
Wir betrachten ein Zufluss-Abfluss-System, bei dem sich der Zu- und Abfluss regeln lässt. Für die folgenden Überlegungen ist es sinnvoll, wenn du dir unter dem Zufluss-Abfluss-System einen Wasserbehälter vorstellst, in den Wasser rein- und wieder rausfließen kann.
Wie kann man die gesamte in ein Wasserbecken zu- bzw. abfließende Wassermenge bestimmen, wenn man genau weiß, wie sich die Zuflussrate während des betrachteten Zeitintervalls verhält? Die Zuflussrate gibt jeweils an, welche Wassermengen pro Zeiteinheit in das Wasserbecken zu- bzw. abfließt. Die insgesamt zu- bzw. abfließende Wassermenge nennen wir hier auch Füllmenge. Ziel dieses Abschnitts ist es, ein Verfahren für die Rekonstruktion solcher Füllmengen zu entwickeln.
Beispiel 1 (★)
Betrachte das im Applet beschriebene Zufluss-Abfluss-System. Bearbeite die Aufgabe unter dem Applet.
Zum Herunterladen: zasystem1.ggb
Aufgabe 1
(a) Im unteren Fenster ist die Zuflussrate dargestellt. Beschreibe mit Hilfe dieser Zuflussrate den Zufluss-Abfluss-Vorgang.
(b) Rekonstruiere aus den Daten zur Zuflussrate die jeweilige Füllmenge. Bestimme hierzu für die Zeitpunkte $t = 1, ..., 10$ die Füllmenge und markiere sie im oberen Koordinatensystem jeweils mit einem Punkt, indem du Punkte passend verschiebst.
(c) Kontrolliere, ob du alle Punkte richtig gesetzt hast. Den roten Punkt auf der Zeit-Achse kann man hin und her bewegen.
(d) Die rekonstruierten Füllmengen kann man im unteren Graphen geometrisch deuten. Siehst du einen Zusammenhang? Schaue dir hierzu die ermittelten Füllmengen nochmal an und suche nach einer geometrischen Entsprechung im unteren Graphen.
Beispiel 2 (★★)
Betrachte das veränderte Zufluss-Abfluss-System. Bearbeite die Aufgabe unter dem Applet.
Zum Herunterladen: zasystem2.ggb
Aufgabe 2
(a) Beschreibe mit Hilfe dieser Zuflussrate den Zufluss-Abfluss-Vorgang. Deute dabei insbesondere negative Zuflussraten.
(b) Rekonstruiere aus den Daten zur Zuflussrate die jeweilige Füllmenge. Bestimme hierzu für die Zeitpunkte $t = 1, ..., 10$ die Füllmenge und markiere sie im oberen Koordinatensystem jeweils mit einem Punkt, indem du Punkte passend verschiebst.
(c) Die rekonstruierten Füllmengen kann man auch hier im unteren Graphen geometrisch deuten. Siehst du einen Zusammenhang? Schaue dir hierzu die ermittelten Füllmengen nochmal an und suche nach einer geometrischen Entsprechung im unteren Graphen.
(d) Kontrolliere deine Ergebnisse. Den roten Punkt auf der Zeit-Achse kann man hin und her bewegen.
Beispiel 3 (★★★)
Betrachte auch das im Applet beschriebene Zufluss-Abfluss-System. Bearbeite die Aufgabe unter dem Applet.
Zum Herunterladen: zasystem3.ggb
Aufgabe 3
(a) Beschreibe den Zufluss-Abfluss-Vorgang. Worin unterscheidet sich die Zuflussrate im vorliegenden Zufluss-Abfluss-System von denen in Aufgabe 1 und Aufgabe 2? Beschreibe die Schwierigkeit, die im vorliegenden Beispiel bei der Bestimmung von Füllmengen entsteht.
(b) Schätze die Füllmenge zum Zeitpunkt $t = 10$ ab. Erläutere auch, wie du dabei vorgegangen bist.
