Zusammenfassung – Rekonstruktion eines Bestandes
Das Problem
Wir betrachten die folgende Ausgangssituation:
Problemstellung
Gegeben ist eine Funktion, die die Entwicklung der lokalen Änderungsraten eines Bestandes beschreibt. Die lokale Änderungsrate gibt an, um welchen Wert sich der Bestand pro Zeiteinheit bzw. pro Schrittweite ändert.
Gesucht ist die Gesamtänderung des Bestandes innerhalb eines betrachteten Intervalls.
Sprechweise: Der Bestand wird rekonstruiert. Dieses Rekonstruieren wird Integrieren genannt (Latein: integrare - wiederherstellen).
Bestandsrekonstruktion – der einfache Fall
Im einfachen Fall wird die Änderungsrate mit einer Treppenfunktion beschrieben. Treppenfunktionen sind abschnittsweise konstant.
Das Applet verdeutlicht, wie man in einem solchen Fall die Gesamtänderung des Bestandes rekonstruiert.
Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren1.ggb
- Hier wird das Intervall von $a = 1$ bis $b = 9$ betrachtet.
- Im Intervall $1 \le x \lt 3$ ändert sich der Bestand um $2 \cdot (3-1) = 4$.
- Im Intervall $3 \le x \lt 4$ ändert sich der Bestand um $0 \cdot (4-3) = 0$.
- Im Intervall $4 \le x \lt 6$ ändert sich der Bestand um $-1.5 \cdot (6-4) = -3$.
- Im Intervall $6 \le x \lt 9$ ändert sich der Bestand um $1 \cdot (9-6) = 3$.
- Ingesamt ergibt sich im betrachteten Intervall eine Gesamtänderung $B_1^9 = 4$.
- Wenn man den Ausgangsbestandswert $B(a)$ kennt, dann kann man mit dieser Gesamtänderung den neuen Bestandswert $B(b)$ bestimmen. Wenn beispielsweise $B(1) = 3$, dann erhält man $B(9) = B(1) + B_1^9 = 3+4 = 7$.
Das Bestandsrekonstruktionsverfahren lässt sich allgemein so beschreiben.
Bestandsrekonstruktion mit Produktsummen
Wenn die Entwicklung der Änderungsrate eines Bestandes mit einer Treppenfunktion beschrieben wird, dann kann man die Gesamtänderung des Bestandes in einem vorgegebenen Intervall $a \le x \le b$ mit Hilfe von Produktsummen der folgenden Gestalt bestimmen:
$B_a^b = \underbrace{h_1}_{\text{Änderungsrate 1. Intervall}} \cdot \underbrace{b_1}_{\text{Intervallbreite 1. Intervalls}} + \dots$
Die Produke in der Aufsummierung kann man so deuten:
- „Funktionswert mal Schrittweite“
- „Stufenhöhe mal Stufenbreite“
- „Stärke der Änderung mal Dauer der Änderung“
- „Zuflussrate mal Dauer des Zuflusses“ (im Kontext Zufluss-Abfluss-System)
Im Applet erkennt man auch eine geometrische Deutung der Produktsummen.
Bestandsrekonstruktion mit Flächeninhalten
Wenn die Entwicklung der Änderungsrate eines Bestandes mit einer Treppenfunktion beschrieben wird, dann kann man die Gesamtänderung des Bestandes in einem vorgegebenen Intervall $a \le x \le b$ mit einer Flächenbilanz geometrisch deuten:
Die Gesamtänderung entspricht dem orientierte Flächeninhalte zwischen der Änderungsratenfunktion und der $x$-Achse im betreffenden Intervall. Flächeninhalte von Flächen oberhalb der $x$-Achse werden dabei addiert, Flächeninhalte von Flächen unterhalb der $x$-Achse subtrahiert.
Bestandsrekonstruktion – der kompliziertere Fall
Schwieriger ist die Rekonstruktion, wenn die lokale Änderungsrate mit einer Funktion beschrieben wird, die keine Treppenfunktion ist. Das folgende Applet zeigt eine solche Ausgangssituation.
Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren2.ggb
In diesem Fall nähert man die Funktion zur lokalen Änderungsrate mit einer Treppenfunktion an. Im Applet wird eine grobe Annäherung mit $4$ Treppenstufen betrachtet. Die Intervallbreite bzw. Stufenbreite beträgt hier $2$. Die Treppenstufen sind so gewählt, dass ihre Höhen genau dem vorgegebenen Funktionsgraph in den Stufenmitten entsprechen. Die im Applet angezeigte Treppenfunktion wird durch folgenden Term beschrieben.
Beispiel
$T(x) = \left\{ \begin{array}{lll} 0.9 & \textrm{ falls } & 0 \leq x \leq 2 \\ 0.6 & \textrm{ falls } & 2 \text{ < } x \leq 4 \\ -0.5 & \textrm{ falls } & 4 \text{ < } x \leq 6 \\ 9 & \textrm{ falls } & 6 \text{ < } x \leq 8 \end{array} \right. $
Mit dem Verfahren für Treppenfunktionen kann man jetzt einen Näherungswert für die Bestandsänderung im betrachteten Intervall $0 \le x \le 8$ bestimmen:
$B_0^8 \approx 0.9 \cdot 2 + 0.6 \cdot 2 + (-0.5) \cdot 2 + 0 \cdot 2 = 2.1$
Bessere Näherungswerte erhält man, wenn man die Anzahl der Stufen erhöht – und somit die Stufenbreite verringert. Im nächsten Applet kann man mit dem Schieberegler $n$ diese Anzahl schrittweise erhöhen.
Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren3.ggb
Man erhält auf diese Weise ein Näherungsverfahren zur Rekonstruktion eines Bestandes bei beliebigen Änderungsratenfunktionen.
Bestandsrekonstruktion mit einen Näherungsverfahren
Wenn die lokale Änderungsrate mit einer beliebigen Funktion gegeben ist, dann kann man die Gesamtänderung des Bestandes in einem vorgegebenen Intervall $a \le x \le b$ mit einem Näherungsverfahren rekonstruieren. Die Änderungsratenfunktion wird hierzu mit einer Treppenfunktion angenähert. Für diese Treppenfunktion lässt sich die Bestandsrekonstruktion mithilfe von Produktsummen durchführen und wir erhalten auf diese Weise Näherungswerte für die Gesamtänderung des Bestandes zur vorgegeben Änderungsratenfunktion. Je kleiner die Intervallbreiten der Treppenfunktion gewählt werden, desto exakter wird die Annäherung der Treppenfunktionen an die vorgegebene Änderungsratenfunktion. Dadurch erhalten wir immer bessere Abschätzungen bei der Bestandsrekonstruktion.
Im Applet sieht man ebenfalls, wie der orientierte Flächeninhalt der Treppenfunktionen den orientierten Flächeninhalt der betrachteten Ausgangsfunktion immer besser annähert.
Bestandsrekonstruktion mit Flächeninhalten
Wie im Fall der Treppenfunktion entspricht die Bestandsänderung in einem Intervall dem orientierten Flächeninhalt zwischen der Änderungsratenfunktion und der $x$-Achse im betreffenden Intervall.
Auch für beliebige Änderungsratenfunktionen kann man die Gesamtänderung des Bestandes in einem Intervall mit einer Flächenbilanz ermitteln: Flächeninhalte von Flächen oberhalb der $x$-Achse werden dabei addiert, Flächeninhalte von Flächen unterhalb der $x$-Achse subtrahiert.
