Zusammenfassung - Integrieren
Einen Bestand aus Bestandsänderungsraten rekonstruieren
Wir betrachten folgende Situation:
Gegeben ist eine Funktion $B'(x)$, die die lokale Änderungsrate eines Bestandes beschreibt.
Gesucht ist eine Funktion $B(x)$, die die Entwicklung des Bestandes erfasst.
Wir verwenden ein Rekonstruktionsverfahren, das man Integrieren nennt.
Treppenfunktionen betrachten
Im einfachen Fall wird die Änderungsrate mit einer Treppenfunktion beschrieben - die Änderungsratenfunktion ist abschnittweise konstant.
Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren1.ggb
Betrachte als Beispiel die im Applet vorgegebene Änderungsratenfunktion:
$B'(x) = \left\{ \begin{array}{lll} 2 & \textrm{ falls } & 0 \leq x \leq 2 \\ 0 & \textrm{ falls } & 2 \text{ < } x \leq 3 \\ -1.5 & \textrm{ falls } & 3 \text{ < } x \leq 5 \\ 1 & \textrm{ falls } & 5 \text{ < } x \leq 7 \end{array} \right. $
Wenn man die Bestandsfunktion $B(x)$ aus den Änderungsraten rekonstruieren möchte, muss zunächst der Ausgangsbestandswert gegeben sein. Wir treffen hier folgende Vereinbarung:
Voraussetzung: Die Bestandsrekonstruktion startet bei $t = 0$ mit $B(0) = 0$.
Die Bestandswerte lassen sich jetzt mit Hilfe von Produktsummen wie im folgenden Beispiel bestimmen.
$\begin{array}{lll} B(6) & = & 2 \cdot 2 \\ & + & 0 \cdot 1 \\ & + & (-1.5) \cdot 2 \\ & + & 1 \cdot 1 \\ & = & 2 \end{array}$
Die Grundidee bei der Bestandsrekonstruktion lässt sich so beschreiben:
Wenn die lokale Änderungsrate mit einer (stückweise konstanten) Treppenfunktion $B'(x)$ gegegeben ist, dann kann man die Bestandsentwicklung $B(x)$ mit Hilfe von Produktsummen rekonstruieren. Dabei werden Produkte der Form "Änderungsrate * Schrittweite" bzw. "Stufenhöhe * Stufenbreite" gebildet. Durch Aufsummieren dieser Produkte erhält man die Gesamtänderung des Bestandes im betrachteten Intervall. Die Produktsummen können als orientierte Flächeninhalte der Flächen zwischen dem Graph der Treppenfunktion und der $x$-Achse gedeutet werden. Flächeninhalte von Flächen oberhalb der $x$-Achse werden dabei positiv, Flächeninhalte von Flächen unterhalb der $x$-Achse werden negativ gezählt.
Beliebige Funktionen betrachten
Schwieriger ist die Rekonstruktion, wenn die Änderungsrate mit einer Funktion beschrieben wird, die keine Treppenfunktion ist.
Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren2.ggb
Im diesem Fall lässt sich die Änderungsratenfunktion mit einer Treppenfunktion annähern. Im Beispiel im Applet wird eine recht grobe Annäherung mit einer Stufenbreite $1$ betrachtet. Die Treppenstufen sind so gewählt, dass sie die jeweilige Mitte der Änderungsratenfunktion treffen.
Das Verfahren für Treppenfunktionen lässt sich jetzt anwenden, um zumindest Näherungswerte für die Bestandsrekonstruktion zu gewinnen.
$T(x) = \left\{ \begin{array}{lll} 0.69 & \textrm{ falls } & 0 \leq x \leq 1 \\ 1.01 & \textrm{ falls } & 1 \text{ < } x \leq 2 \\ 0.44 & \textrm{ falls } & 2 \text{ < } x \leq 3 \\ -0.44 & \textrm{ falls } & 3 \text{ < } x \leq 4 \\ -1.01 & \textrm{ falls } & 4 \text{ < } x \leq 5 \\ -0.69 & \textrm{ falls } & 5 \text{ < } x \leq 6 \\ 1.14 & \textrm{ falls } & 6 \text{ < } x \leq 7 \end{array} \right. $
Wir treffen wieder folgende Vereinbarung:
Voraussetzung: Die Bestandsrekonstruktion startet bei $t = 0$ mit $B(0) = 0$.
Die Bestandswerte lassen sich jetzt mit Hilfe von Produktsummen näherungsweise bestimmen und als orientierte Flächeninhalte (der Treppenfiguren) deuten.
$\begin{array}{lll} B(5) & \approx & 0.69 \cdot 1 \\ & + & 1.01 \cdot 1 \\ & + & 0.44 \cdot 1 \\ & + & (-0.44) \cdot 1 \\ & + & (-1.01) \cdot 1 \\ & = & 0.69 \end{array}$
Das folgende Applet verdeutlicht: Je kleiner man die Breite der Intervalle wählt, desto besser wird die Annäherung der Treppenfunktionen an die vorgegebene Änderungsratenfunktion. Man erhält dann auch bessere Abschätzungen bei der Bestandsrekonstruktion.
Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren3.ggb
Wenn die lokale Änderungsrate mit einer beliebigen Funktion $B'(x)$ gegegeben ist, dann kann man die Bestandsentwicklung $B(x)$ mit einem Näherungsverfahren rekonstruieren. Die Änderungsratenfunktion wird hierzu mit einer Treppenfunktion angenähert. Für diese Treppenfunktion kann man die Bestandsrekonstruktion mit Hilfe von Produktsummen durchführen und erhält auf diese Weise Näherungswerte für die Bestandsentwicklung zur vorgegeben Änderungsratenfunktion. Je kleiner die Intervalle der Treppenfunktion gewählt werden, desto besser wird die Annäherung der Treppenfunktionen an die vorgegebene Änderungsratenfunktion. Man erhält dann auch bessere Abschätzungen bei der Bestandsrekonstruktion. Wie im Fall der Treppenfunktion entspricht die Bestandsänderung in einem Intervall dem orientierte Flächeninhalte zwischen der Änderungsratenfunktion und der $x$-Achse im betreffenden Intervall.
In den folgenden Kapitel werden wir diese Zusammenhänge vertiefend betrachten und dabei das Produktsummenverfahren und seine Deutung als orientierte Flächeninhalte genauer analysieren.
