Überprüfung – Mittlere Änderungsrate

Aufgabe 1

Die Entwicklung eines Bestandes wird mit einer Funktion $f$ beschrieben. Ein Beispiel ist – mit einigen Hilfsgrößen – im Applet unter der Aufgabe dargestellt. Das Applet kann dir beim Beurteilen der folgenden Aussagen helfen.

Welche Aussagen sind wahr, welche falsch?

• Die mittlere Änderungsrate im Intervall $x_0\le x\le x_1$ beschreibt die Änderung des Bestandes in diesem Intervall.
• Die mittlere Änderungsrate im Intervall $x_0\le x\le x_1$ beschreibt, um welchen Betrag sich der Bestandes in diesem Intervall im Mittel pro Einheit ändert.
• Die mittlere Änderungsrate im Intervall $x_0\le x\le x_1$ berechnet man mit der Formel $m(x_0,x_1)={\displaystyle \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}}$.
• Die mittlere Änderungsrate im Intervall $x_0\le x\le x_1$ entspricht der Steigung der Geraden (Sekante) durch $P(x_0|f(x_0))$ und $Q(x_1|f(x_1))$.
• Mit $f(x_1)-f(x_0)$ beschreibt man die Änderung des Bestandes im Intervall $x_0\le x\le x_1$.
• Mit ${\displaystyle \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}}$ beschreibt man die Änderung des Bestandes pro Schrittweite im Intervall $x_0\le x\le x_1$.
• Wenn man vom Punkt $P(x_0|f(x_0))$ um $1$ Einheit nach rechts und dann um die mittlere Änderungsrate $m(x_0,x_1)$ nach oben bzw. unten geht, dann gelangt man zum Punkt $Q(x_1|f(x_1))$.
• Wenn man vom Punkt $P(x_0|f(x_0))$ um $x_1-x_0$ nach rechts und dann um $f(x_1)-f(x_0)$ nach oben bzw. unten geht, dann gelangt man zum Punkt $Q(x_1|f(x_1))$.
• Wenn man vom Punkt $P(x_0|f(x_0))$ um $1$ Einheit nach rechts und dann um die mittlere Änderungsrate $m(x_0,x_1)$ nach oben bzw. unten geht, dann gelangt zu einem Punkt auf der Geraden durch $P$ und $Q$.
• Die mittlere Änderungsrate im Intervall $x_0\le x\le x_1$ entspricht der mittleren Änderungsgeschwindigkeit des Bestands in diesem Intervall.
• Die mittlere Änderungsrate eines Bestandes im Intervall $x_0\le x\le x_1$ ist immer eine positive Zahl.

Zum Herunterladen: mittlere_aenderungsrate2.ggb