Zusammenfassung – Mittlere Änderungsrate
Entwicklung eines Bestandes
Die Funktion $f$ beschreibe die Entwicklung eines Bestandes. Sie ordnet jedem Wert einer Ausgangsgröße $x$ (z.B. der Zeit) den jeweiligen Bestandswert $f(x)$ (z.B. die Populationsgröße) zu.
Zum Herunterladen: mittlere_aenderungsrate.ggb
Änderung des Bestandes
Ein Bestand ändert meist seinen Wert in Abhängigkeit von der Ausgangsgröße. Im Applet ist eine solche Änderung exemplarisch mit Hilfe der Punkte $P$ und $Q$ verdeutlicht.
$P(\,\textcolor{red}{x_0}\mid \textcolor{blueviolet}{f(x_0)}\,) \rightarrow Q(\,\textcolor{red}{x_1}\mid \textcolor{blueviolet}{f(x_1)}\,)$
Wenn die Ausgangsgröße sich von $2$ auf $5$ verändert, dann ändert sich die Bestandsgröße von $0.59$ auf $3.18$. Zur Schrittweite $3$ gehört demnach im vorliegenden Beispiel die Änderung $2.59$.
- Schrittweite: $5 - 2 = 3$
- Änderung (des Bestands): $3.18 - 0.59 = 2.59$
Änderungsrate des Bestandes
Die Änderungsrate beschreibt die Änderungsgeschwindigkeit des Bestandes.
Im vorliegenden Beispiel ändert sich der Bestand im Intervall $2 \leq x \leq 5$ bei einer Schrittweite $3$ um den Bestandswert $2.59$. Pro Schrittweiteneinheit ändert sich der Bestand dann im Mittel um $3.59 / 3 = 0.86333... \approx 0.86$. Es handelt sich um eine mittlere Änderung pro Schrittweiteneinheit, da sich der Bestand im vorliegenden Beispiel ja nicht gleichmäßig verändert.
Diese mittlere Änderung pro Schrittweiteneinheit kann man als mittlere Änderungsgeschwindigkeit des Bestand im betreffenden Intervall deuten. Sie wird auch mittlere Änderungsrate im betreffenden Intervall genannt.
Beide Begriffe mittlere Änderungsgeschwindigkeit
bzw. mittlere Änderungsrate
werden oft synonym verwendet.
Wir nutzen im Folgenden den Begriff „mittlere Änderungsrate“.
Beachte, dass sich eine mittlere Änderungsrate immer auf ein bestimmtes Intervall (d.h. einen Bereich der Ausgangsgröße) bezieht. Im Beispiel oben war das das Intervall $2 \leq x \leq 5$.
Formel zur Berechnung der Änderungsrate
Wir betrachten die Entwicklung eines Bestandes im Intervall $x_0 \leq x \leq x_1$, die mit der Funktion $f$ beschrieben wird. Die oben genannten Größen lassen sich mit allgemeinen Formeln beschreiben:
- Schrittweite: $5 - 2 = 3$
- Änderung (des Bestands): $3.18 - 0.59 = 2.59$
- mittlere Änderungsrate: $m(x_0, x_1) = \displaystyle{\frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}}$
Eine Präzisierung
Der gefundene mathematische Zusammenhang lässt sich zusammenfassend so beschreiben:
Mittlere Änderungsrate
Die Entwicklung eines Bestands werde mit einer Funktion $f$ beschrieben. Die mittlere Änderungsrate im Intervall $x_0 \leq x \leq x_1$ beschreibt die Änderung des Bestandes pro Schrittweite in diesem Intervall. Man berechnet sie so:
$m(x_0, x_1) = \displaystyle{\frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}}$
Deutung als Steigung
Betrachte noch einmal die Bestandsänderung, die mit den Punkten $P$ und $Q$ gegeben ist.
$P(\,\textcolor{red}{x_0}\mid \textcolor{blueviolet}{f(x_0)}\,) \rightarrow Q(\,\textcolor{red}{x_1}\mid \textcolor{blueviolet}{f(x_1)}\,)$
Geometrische Deutung der mittleren Änderungsrate
Die mittlere Änderungsrate entspricht der Steigung der Geraden durch $P(\,\textcolor{red}{x_0}\mid \textcolor{blueviolet}{f(x_0)}\,) $ und $Q(\,\textcolor{red}{x_1}\mid \textcolor{blueviolet}{f(x_1)}\,)$. Diese Gerade wird auch Sekante (zu Graph $f$) durch $P$ und $Q$ genannt.
