Erarbeitung
Zur Orientierung
Wir lösen uns hier vom Tunnelbau und verfolgenden diese Zielsetzung.
Zielsetzung
Ziel im Folgenden ist es, Anforderungen an eine Tunnelröhrenfunktion verallgemeinernd zu beschreiben.
Stetigkeit einer Funktion fordern
Der Graph der Funktion im folgenden Applet weist Sprünge
auf. Solche Sprungstellen
will man oft vermeiden. Zur Formulierung einer Bedingung
benötigt man eine adäquates Beschreibung eines nicht-sprunghaften
Verhaltens. Hierfür verwendet man in der Mathematik den Stetigkeitsbegriff.
Wir werden diesen Begriff hier kurz thematisieren. Eine weitergehende Behandlung erfolgt in einem weiteren Kapitel.
Zum Herunterladen: entwurf1.ggb
Aufgabe 1
(a) Verdeutliche mit Hilfe des Applets, dass folgendes Verhalten erwünscht ist.
$\begin{array}{ccl} f(x_0+h) & \\ \downarrow & h \rightarrow 0 & \\ f(x_0) \end{array}$
(b) Erläutere, dass man das gewünschte Verhalten mit dem Stetigkeitsbegriff beschreiben kann.
Stetigkeit einer Funktion (an einer Stelle)
Eine Funktion $f$ ist stetig an der Stelle $x_0$ aus der Definitionsmenge von $f$ genau dann, wenn der Grenzwert $\lim\limits_{h \rightarrow 0}{f(x_0+h)}$ existiert und mit $f(x_0)$ übereinstimmt.
Eine Funktion $f$ ist stetig genau dann, wenn sie an jeder Stelle aus ihrem Definitionsbereich differenzierbar ist.
Differenzierbarkeit einer Funktion fordern
Der Graph der Funktion im folgenden Applet weist Knicke
auf. Solche Knickstellen
will man ebenfalls oft vermeiden.
In den letzten Abschnitten wurde der Differenzierbarkeitsbegriff eingeführt. Diesen Begriff kann man hierfür verwenden.
Zum Herunterladen: entwurf2.ggb
Aufgabe 1
(a) Verdeutliche mit Hilfe des Applets, dass folgendes Verhalten erwünscht ist.
$\begin{array}{ccl} m(x_0, x_0+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}} \\ \downarrow & h \rightarrow 0 & \\ f'(x_0) & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}}} \end{array}$
(b) Erläutere, dass man das gewünschte Verhalten mit dem Differenzierbarkeitsbegriff beschreiben kann.
Differenzierbarkeit einer Funktion (an einer Stelle)
Eine Funktion $f$ ist differenzierbar an der Stelle $x_0$ aus der Definitionsmenge von $f$ genau dann, wenn der Grenzwert $\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}}}$ der mittleren Änderungsraten existiert.
Eine Funktion $f$ ist differenzierbar genau dann, wenn sie an jeder Stelle aus ihrem Definitionsbereich differenzierbar ist.
