Zusammenfassung – Lokale Änderungsrate
Entwicklung eines Bestandes
Die Funktion $f$ beschreibe die Entwicklung eines Bestandes. Sie ordnet jedem Wert einer Ausgangsgröße $x$ (z.B. der Zeit) den jeweiligen Bestandswert $f(x)$ (z.B. die Populationsgröße) zu.
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Beachte, dass im Applet die betrachtete Stelle $x_0$ und die betrachtete Schrittweite $h$ angezeigt werden. Der Punkt $P$ hat dann die Koordinaten $P(x_0 | f(x_0))$, der Punkt $Q$ die Koordinaten $Q(x_0+h | f(x_0+h))$. Für die mittlere Änderungsrate erhält man dann folgende Formel:
$m(x_0, x_0+h) = \displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{(x_0+h) - x_0}} = \displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}}$
Von der mittlere Änderungsrate zur lokalen Änderungsrate eines Bestandes
Eine mittlere Änderungsrate beschreibt die Änderung pro Schrittweite. Sie bezieht sich immer auf ein $x$-Werte-Intervall. Im Applet oben ist das Intervall $2 \leq x \leq 3$ eingestellt.
Eine mittlere Änderungsrate beschreibt, um wieviel der Bestand sich durchschnittlich pro $x$-Werte-Einheit verändert.
Oft ist man nicht an einer mittleren Änderungsrate in einem Intervall interessiert. Wenn der Bestand eine Populationsgröße beschreibt, dann will man eventuell nicht wissen, wie stark sich die Population in einem vorgegebenen Zeitraum verändert. Man möchte eventuell eine Aussage über die aktuelle Wachstumsgeschwindigkeit der Population treffen. Für solche punktuellen Aussagen nutzt man die lokalen Änderungsrate.
Eine lokale Änderungsrate beschreibt die momentane Änderungsgeschwindigkeit eines Bestandes. Sie bezieht sich auf einen bestimmten Bestandszustand bzw. auf den zugehörigen $x$-Wert.
Die lokale Änderungsrate an einer bestimmten Stelle kann man mit einem Ännäherungsverfahren experimentell bestimmen. Man wählt immer kleinere Intervalle um die betrachtete Stelle und bestimmt für diese Intervalle die mittlere Änderungsrate. Bei den meisten Bestandsfunktionen erhält man auf diese Weise einen Wert für die momentane Änderungsrate, da die Näherungswerte sich bei einer festen Zahl stabilisieren.
Das Applet zeigt in einer Aussschnitsvergrößerung eine bereits recht gute Annäherung an die lokale Änderungsrate für die Bestandsentwicklung an der Stelle $x_0 = 2$ im Beispiel im Applet oben. Hier wurde eine sehr kleine Schrittweite von $h = 0.001$ gewählt. Der Punkt $Q$ liegt somit sehr nahe am Punkt $P$.
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Eine Präzisierung
Der gefundene mathematische Zusammenhang lässt sich zusammenfassend so beschreiben:
Lokale Änderungsrate
Die Entwicklung eines Bestands werde mit einer Funktion $f$ beschrieben. Die lokale Änderungsrate an der Stelle $x_0$ erhält man, indem man die mittlere Änderungsrate im Intervall $x_0 \leq x \leq x_0 + h$ bestimmt - und das für immer kleinere Schrittweiten $h$, die sich der $0$ annähern.
$\begin{array}{ccl} m(x_0, x_0+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}} \\ \quad\downarrow h \rightarrow 0 & & \\ \text{lokale Änderungsrate an der Stelle $x_0$} \end{array}$
