Übungen – Lokale Änderungsrate
Hinweise
In Aufgabe 1 und Aufgabe 2 wird die lokale Änderungsrate in verschiedenen Kontexten betrachtet.
Aufgabe 3 baut auf Aufgabe 2 auf und beleuchtet noch stärker den Unterschied zwischen mittlerer und lokaler Änderungsrate.
Aufgabe 1
Das Diagramm im Applet unter der Aufgabe verdeutlicht einen Ausschnitt aus einer Fahrt von R. mit dem Auto in einer Innenstadt. Auf der $x$-Achse ist die Zeit in s abgetragen, auf der $y$-Achse der zurückgelegte Weg in m.
(a) Beschreibe zunächst die Fahrt ganz grob in Worten.
(b) Auf der $y$-Achse sind die 50er- und 30er-Zonen gekennzeichnet. Schätze zunächst grob ab, ob R. die Tempolimits in etwa berücksichtigt. Beachte: $3.6$ km/h entspricht $1$ m/s.
(c) Mit dem Punkt $B$ ist der Ort einer Blitzer-Radarfalle gekennzeichnet. Muss R. hier ein Bußgeld befürchten? Ermittle mit den Punkten $P$ und $Q$ möglichste genau die Momentangeschwindigkeit von R. zum Zeitpunkt $x_0 = 13$ (das ist der Zeitpunkt, am dem R. an der Radarfalle vorbeifährt).
Zum Herunterladen: autofahrt.ggb
Aufgabe 2
Wir betrachten hier die Entwicklung der Erdbevölkerungszahl. Diese Entwicklung lässt sich näherungsweise mit der Funktion $f$ mit $f(x) = 6 \cdot 1.0132^x$ beschreiben. $x$ gibt hier die Anzahl der Jahre ab $2000$ an, $f(x)$ gibt die Anzahl der zum Zeitpunkt $x$ auf der Erde lebenden Menschen in Milliarden an.
Schätze die momentane Wachstumsgeschwindigkeit zu Beginn des Jahres 2020, 2021 und des aktuellen Jahres ab. Nutze hierzu jeweils ein kleines Zeitintervall. Kontrolliere deine Rechnungen mit dem Applet.
Zum Herunterladen: weltbevoelkerung2.ggb
Aufgabe 3
Für das Jahr 2020 (also $x_0 = 20$) erhält man eine momentane Wachstumsgeschwindigkeit von etwa $0.1022$ (in Mrd pro Jahr). Was bedeutet dieser Wert? Wir stellen zur Klärung folgende Überlegungen an.
(a) Zu Beginn des Jahres 2020 verhält sich das Wachstum momentan so wie ein konstantes Wachstum mit 0.1022 Mrd pro Jahr. Bedeutet das, dass die Weltbevölkerung im gesamten Jahr 2020 um 0.1022 Mrd Menschen zunimmt? Kontrolliere das mit einer Rechnung.
(b) Die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit von 0.1022 Mrd pro Jahr lässt sich auf das Wachstum in $1s$ „herunterrechnen“. Da $1a = 365\cdot24\cdot60\cdot60s = 31536000s$, erhält man für den Beginn des Jahres 2020 ein Wachstum von $0.1022/31536000 \approx 0.00000000324$ (in Mrd). D.h., in der 1. Sekunde des Jahres 2020 ist die Bevölkerungszahl um etwa 3 Menschen gestiegen.
Schätze analog das Wachstum in der 1. Sekunde des aktuellen Jahres ab. Kontrolliere die Plausibilität des berechneten Werts mit der Bevölkerungsuhr.
