Strukturierung – Lokale Änderungsrate
Eine lokale Änderungsgeschwindigkeit bestimmen
Die Funktion $f$ beschreibt die Entwicklung eines Bestandes. Sie ordnet jedem Wert einer Ausgangsgröße $x$ (z.B. der Zeit) den jeweiligen Bestandswert $f(x)$ (z.B. die Populationsgröße) zu.
Thema dieser Seite
Oft ist man bei der Untersuchung einer Bestandsentwicklung nicht an einer mittleren Änderungsrate in einem Intervall interessiert. Wenn der Bestand z.B. eine Populationsgröße beschreibt, dann will man eventuell nicht wissen, wie stark sich die Population in einem vorgegebenen Zeitraum verändert. Man möchte eventuell eine Aussage über die aktuelle Wachstumsgeschwindigkeit der Population treffen. Für solche punktuellen Aussagen nutzt man die lokale Änderungsgeschwindigkeit – die auch lokalen Änderungsrate genannt wird.
Aufgabe 1
Im Applet unter der Aufgabe ist eine Bestandsentwicklung von $P(2|44.61628)$ nach $Q(3|69.58289)$ eingestellt. Erkläre, warum die mittlere Änderungsrate im betrachteten Intervall $2 \leq x \leq 3$ noch keine gute Abschätzung der lokalen Änderungsgeschwindigkeit bzw. lokalen Änderungsrate an der Stelle $x_0 = 2$ liefert.
Darstellung der Schrittweite
Beachte, dass im Applet die betrachtete Stelle $x_0$ und die betrachtete Schrittweite $h$ angezeigt werden. Der Punkt $P$ hat dann die Koordinaten $P(x_0 | f(x_0))$, der Punkt $Q$ die Koordinaten $Q(x_0+h | f(x_0+h))$. Für die mittlere Änderungsrate erhält man dann folgende Formel:
$m(x_0, x_0+h) = \displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{(x_0+h) - x_0}} = \displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}}$
Zum Herunterladen: lokale_aenderungsrate1.ggb
Aufgabe 2
Ziel ist es jetzt, die lokale Änderungsrate an der Stelle $x_0 = 2$ besser abzuschätzen. Den Punkt $P$ solltest du an der voreingestellten Position $P(2|44.61628)$ belassen. Verschiebe den Punkt $Q$ in Richtung $P$. Du kannst die Grafik durch Zoomen geeignet vergrößern und bei Bedarf hin und her schieben. Ermittle so immer bessere Näherungswerte für die gesuchte lokale Änderungsrate. Wiederhole diesen Vorgang ($Q$ näher an $P$ heranbringen; die Grafik durch Zoomen und Verschieben geeignet einstellen) so oft, bis du einen möglichst stabilen Wert für die gesuchte lokale Änderungsrate gefunden hast.
Aufgabe 3
Positioniere den Punkt $Q$ links von $P$ (d.h. mit kleinerer $x$-Koordinate). Erkläre erst, warum man jetzt eine negative Schrittweite erhält. Gehe jetzt analog zu Aufgabe 2 vor – mit einer Annäherung von links statt von rechts. Überprüfe, ob man denselben stabilen Wert für die gesuchte lokale Änderungsrate erhält.
Aufgabe 4
Beschreibe das Verfahren, mit dem man die lokale Änderungsrate eines Bestandes an einer vorgegebenen Stelle bestimmen kann.
Den Wissensspeicher füllen
Aufgabe 5
✏️ Fülle die rechte Hälfte des Wissensspeichers zu Änderungsraten aus; die Notation und geometrische Bedeutung (Felder 3 und 4) kannst du vorerst leer lassen.
