Heron-Verfahren

Aufgabe 1

Das Heron-Verfahren wird benutzt, um die Quadratwurzel aus einer Zahl näherungsweise zu berechnen.

Zum Herunterladen: heron1.ggb

(a) Mache dich zuerst mit dem Applet vertaut und kläre dabei folgende Fragen.

• Wie wird das erste Rechteck mit dem vorgegebenen Flächeninhalt (z.B. $A = 5$) erzeugt? Welche Seitenlängen $a_1$ und $b_1$ werden benutzt?
• Die Seitenlängen der schrittweise erzeugten Rechtecke sollen sich immer weniger unterscheiden. Wie erreicht man das?
• Der Flächeninhalt der schrittweise erzeugten Rechtecke sollen immer gleich bleiben. Wie erreicht man das?
• Welche Quadratwurzel hat man näherungsweise berechnet, wenn die beiden Seiten eines erzeugten Rechtecks fast gleich lang sind?

(b) Die Längen der Seiten der erzeugten Rechtecke bilden jeweils eine Folge:

$a_n$ bzw. $b_n$: Längen der Seiten des $n$-ten erzeugten Rechtecks (für $n = 1; 2; 3; ...$)

Beschreibe die beiden Folgen mit rekursiven Berechnungsformeln.

(c) In einer Formelsammlung findet man diese Folgendarstellung. Begründe, wie man darauf kommt.

$a_1 = A$
$a_{n+1} = \frac{1}{2}\left( a_n + \displaystyle{\frac{A}{a_n}} \right)$ (für $n = 1; 2; 3; ...$)

(d) Benutze das Heron-Verfahren, um $\sqrt{10}$ näherungsweise zu berechnen.