Zusammenfassung - Folgenkonzept
Zahlenfolgen in Kontexten
Zahlenfolgen kommen in verschieden Kontexten vor. Hier zwei Beispiele:
Beispiel:
Die Zahlenfolge
Beispiel:
Die Zahlenfolge
Mathematische Beschreibung der Beispielfolgen
Zahlenfolgen können mathematisch mit Hilfe von Funktionen beschrieben werden. Wir verdeutlichen das anhand der betrachteten Beispiele.
Beispiel:
Zum Herunterladen: folge_als_funktion1.ggb
Die Zahlenfolge wird mit einer Funktion beschrieben, die einer natürlichen Zahl
Beispiel:
Zum Herunterladen: folge_als_funktion2.ggb
Die Zahlenfolge wird mit einer Funktion beschrieben, die einer natürlichen Zahl
Präzisierung des Folgenbegriffs
Die Beispiele verdeutlichen, dass wir eine Zahlenfolge als Funktion auffassen können.
Eine Folge ist eine Funktion, die jeder natürlichen Zahl (aus einer unendlichen Menge natürlicher Zahlen) eine reelle Zahl zuordnet.
- Die Definitionsmenge einer Folge ist eine unendliche Menge natürlicher Zahlen. Meist ist es die Menge
oder die Menge . Wir beschreiben die Definitionsmenge oft in der Form bzw. . - Die Folgenglieder einer Folge sind die Funktionswerte der entsprechenden Funktion. Wir bezeichnen sie mit z.B. mit
. Hier wird das Folgenglied mit der Platznummer mit dem Bezeichner versehen. - Die Folgenglieder einer Folge können beliebige reelle Zahlen sein.
- Die Folgenglieder kann man - wie bei Funktionen üblich - im Koordinatensystem verdeutlichen. Beachte, dass der Graph einer Folge nur aus unverbundenen Punkten besteht.
- Eine Folge wird - etwas ungewohnt - nicht wie bei Funktionen üblich mit einem Bezeichner wie z.B.
beschrieben. Stattdessen benutzt man einen Ausdruck wie z.B. , wenn man die Folge mit den Folgengliedern mit beschreibt.
Darstellung von Folgen
Zur Darstellung von Folgen nutzt man in der Regel explizite oder rekursive Berechnungsvorschriften. Wir verdeutlichen die verschiedenen Arten zur Festlegung der Berechnungen anhand der Beispiele von oben.
Beispiel:
Die Folgenglieder
Die Berechnung eines Folgenglieds ist direkt aus der Platznummer möglich.
...
Die Folgenglieder
Die Berechnung eines Folgenglieds greift auf bereits vorher berechnete Folgenglieder zurück.
...
Beispiel:
Die Folgenglieder
Die Berechnung eines Folgenglieds ist direkt aus der Platznummer möglich.
...
Die Folgenglieder
Die Berechnung eines Folgenglieds greift auf bereits vorher berechnete Folgenglieder zurück.
...