Zusammenfassung - Folgenkonzept

Zahlenfolgen in Kontexten

Zahlenfolgen kommen in verschieden Kontexten vor. Hier einige Beispiele:

Beispiel 1

Die Zahlenfolge $0;1;3;6;10;...$ beschreibt der Reihe nach die jeweilige Anzahl von Begrüßungen, wenn $1;2;3;4;5;...$ Personen sich alle gegenseitig begrüßen.

Beispiel 2

Die Zahlenfolge $1;3;7;15;31;...$ beschreibt der Reihe nach die Anzahl der Scheibenbewegungen, die bei der Umschichtung eines Stapels mit $1;2;3;4;5;...$ Scheiben erforderlich sind.

Beispiel 3

Die Zahlenfolge $0;0.5;1;1.5;2;...$ beschreibt der Reihe nach den Gesamtinhalt eines Sparschweins [in €] nach $0;1;2;3;4;5;...$ Tagen, wenn das Sparschwein zu Beginn leer ist und man jeden Tag 0.50 € hineinwirft.

Mathematische Beschreibung der Beispielfolgen

Zahlenfolgen können mathematisch mit Hilfe von Funktionen beschrieben werden. Wir verdeutlichen das anhand der betrachteten Beispiele.

Beispiel 1: Begrüßungen

Zahlenfolge: $0;1;3;6;10;...$

Die Zahlenfolge wird mit einer Funktion beschrieben, die einer natürlichen Zahl $n$ aus dem Bereich $n=1;2;3;...$ die Zahl $a_n$ zuordnet, die so berechnet wird:

$a_n={\displaystyle \frac{n\cdot (n-1)}{2}}$ für $n=1;2;3;...$

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Beispiel 2: Türme von Hanoi

Zahlenfolge: $1;3;7;15;31;...$

Die Zahlenfolge wird mit einer Funktion beschrieben, die einer natürlichen Zahl $n$ aus dem Bereich $n=1;2;3;...$ die Zahl $a_n$ zuordnet, die so berechnet wird:

$a_n=2^n-1$ für $n=1;2;3;...$

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Beispiel 3: Sparschwein

Zahlenfolge: $0;0.5;1;1.5;2;...$

Die Zahlenfolge wird mit einer Funktion beschrieben, die einer natürlichen Zahl $n$ aus dem Bereich $n=0;1;2;...$ die Zahl $a_n$ zuordnet, die so berechnet wird:

$a_n=n\cdot 0.5$ für $n=0;1;2;...$

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Präzisierung des Folgenbegriffs

Die Beispiele verdeutlichen, dass wir eine Zahlenfolge als Funktion auffassen können.

• Die Definitionsmenge einer Folge ist eine unendliche Menge natürlicher Zahlen. Meist ist es die Menge $\mathbb{N}=\{0,1,2,...\}$ oder die Menge ${\mathbb{N}}^{\ast }=\{1,2,...\}$. Wir beschreiben die Definitionsmenge oft in der Form $n=0;1;2;...$ bzw. $n=1;2;...$.
• Die Folgenglieder einer Folge sind die Funktionswerte der entsprechenden Funktion. Wir bezeichnen sie z.B. mit $a_1;a_2;a_3;...$. Hier wird das Folgenglied mit der Platznummer $n$ mit dem Bezeichner $a_n$ versehen.
• Die Folgenglieder einer Folge können beliebige reelle Zahlen sein.
• Die Folgenglieder kann man - wie bei Funktionen üblich - im Koordinatensystem verdeutlichen. Beachte, dass der Graph einer Folge nur aus unverbundenen Punkten besteht.
• Eine Folge wird - etwas ungewohnt - nicht wie bei Funktionen üblich mit einem Bezeichner wie z.B. $a$ beschrieben. Stattdessen benutzt man einen Ausdruck wie z.B. $\left(a_n\right)$, wenn man die Folge mit den Folgengliedern mit $a_1;a_2;a_3;...$ beschreibt.

Berechnung von Folgengliedern

Wir beginnen mit einer Zusammenstellung von Berechnungsformeln für die oben bereits thematisierten Beispielfolgen.

Das sieht man so: Im Fall der Sparschweinfolge könnte man statt $a_n=n\cdot 0.5$ auch $a(n)=n\cdot 0.5$ (für $n=0;1;2;\dots$) schreiben.

Die Berechnung von Folgengliedern mit einer rekursiven Folgendarstellung (bzw. rekursiven Berechnungsvorschrift) ist etwas komplizierter. Wir betrachten die hierzu die rekursive Darstellung der Begrüßungsfolge genauer. Sie besteht aus zwei Gleichungen.

Die Rolle dieser Gleichungen erkennt man, wenn man sich eine rekursive Berechnung von Folgengliedern mit diesen rekursiven Gleichungen anschaut.

Bei der rekursiven Berechnung von Folgengliedern wird der Rekursionsschritt absteigend solange wiederholt, bis man den Rekursionsanfang benutzen kann, um aufsteigend den Wert des Folgenglieds zu bestimmen. Eine solche Berechnung ist demnach recht aufwendig.