Lineare Gleichungssysteme

Was ist nochmal ein Lineares Gleichungssystem?

Lineare Gleichungssysteme kennst du schon aus der Mittelstufe. Mit ihnen kann man beispielsweise solche Zahlenrätsel lösen:

„Heute ist Jakob doppelt so alt wie seine Tochter. Vor zehn Jahren war er sogar dreimal so alt wie die Tochter. Wie alt ist Jakob?“

Man liest daras zwei Zusammenhänge ab – zwischen dem Alter von Jakob und seiner Tochter jetzt und vor zehn Jahren. Solche Zusammenhänge formuliert man in der Mathematik gern mit Gleichungen:

Sei $x$ das Alter von Jakob heute und $y$ das Alter von Jakobs Tochter heute. Dann gilt:

• Erster Zusammenhang: $x = 2y$
• Zweiter Zusammenhang: $x-10 = 3\cdot(y-10)$.

Das sind zwei Gleichungen mit zwei Variablen. Sie sind jeweils linear, weil keine Terme der Form $x^2$ oder $x\cdot y$ etc. vorkommen. Man spricht von einem Linearen Gleichungssystem (LGS).

Eine Möglichkeit, das LGS zu lösen ist Folgende: Wegen der ersten Gleichung können wir überall, wo $x$ steht, das durch $2y$ ersetzen. Wenn wir das in der zweiten Gleichung tun, erhalten wir eine Gleichung mit nur noch einer Variablen: $$2y - 10 = 3\cdot (y-10) = 3y - 30.$$ Diese Gleichung lösen wir und erhalten $y=20$. Mithilfe der ersten Gleihcung können wir nun auch $x$ berechnen: $x = 2y = 40$.

Zuletzt interpretieren wir das Ergebnis und machen die Probe: Jakob ist nun 40 Jahre als und damit doppelt so alt wie seine Tochter (20 Jahre). Vor zehn Jahren war er 30 und sie 10, er war also dreimal so alt.

Zusammenhang zur Analytischen Geometrie

Die Strukturen, die wir bisher betrachtet haben, sind linear: Geraden und Ebenen lassen sich nämlich in ihrer Parameterform durch lineare Gleichungen beschreiben. Entsprechend entstehen bei Punktproben und Schnittpunktbestimmungen lineare Gleichungssysteme. Auch das Konzept einer skalaren Multiplikation entspricht einem LGS.

Anfangs haben wir die entstandenen Linearen Gleichungssysteme einfach von Hand gelöst – sie waren aber auch recht einfach. Im letzten Kapitel wurde es dann jedoch komplizierter: Bei der Schnittpunktbestimmung von einer Ebene und einer Gerade erhalten wir schon ein LGS mit drei Variablen. Will man zwei Ebenen schneiden, werden es vier Variablen.

In solchen Fällen gibt es nur zwei Möglichkeiten: Entweder wir brauchen ein strukturiertes Verfahren, womit wir auch ein kompliziertes LGS verlässlich lösen können, oder wir sind auf ein CAS angewiesen. Aber ein CAS funktioniert auch nur, weil es ein strukturiertes Verfahren anwendet. Grund genug, um sich ein solches in diesem Kapitel zu erarbeiten.