Erkundung - Lineare Gleichungen mit 2 Variablen

Lösungen einer linearen Gleichung

Betrachte als Beispiel die folgende lineare Gleichung mit 2 Variablen:

$x_1 - 2x_2 = -4$

Aufgabe 1

(a) Zeige, dass die Gleichung $x_1 - 2x_2 = -4$ u.a. die folgenden Lösungen hat.

• $x_1 = -4; x_2 = 0$ bzw. $(x_1; x_2) = (-4; 0)$
• $x_1 = -2; x_2 = 1$ bzw. $(x_1; x_2) = (-2; 1)$

(b) Ergänze zu weiteren Lösungen der Gleichung:

• $(...; 2)$
• $(...; 3)$
• $(...; 4)$
• $(...; 0.5)$
• $(...; -1)$

(c) Begründe: Man erhält alle Lösungen der Gleichung, indem man für $x_2$ eine Zahl $t \in \mathbb{R}$ vorgibt und dann $x_1$ mit $x_1 = -4 + 2t$ berechnet. Kurz:

$(x_1; x_2) = (-4 + 2t; t)$ mit $ t \in \mathbb{R}$.

Die Lösungsmenge lässt sich dann so darstellen.

$L = \{(x_1; x_2) | x_1 = -4 + 2t; x_2 = t; t \in \mathbb{R}\}$.

Veranschaulichung der Lösungen einer linearen Gleichung

Betrachte weiterhin die folgende lineare Gleichung:

$x_1 - 2x_2 = -4$

Die Lösungen dieser Gleichung lassen sich in einem 2D-Koordinatensystem veranschaulichen.

Download: lg2.ggb

Aufgabe 2

(a) Veranschauliche weitere Lösungen der Gleichung, indem du die Zahlenpaare im Eingabefeld eingibst.

(b) Warum liegen alle Lösungen auf einer Geraden? Benutze die folgenden Umformungen beim Erklären.

$\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -4 + 2t \\ t \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -4 \\ 0 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}\right)$

Aufgabe 3

Mit dem folgenden Applet kannst du unterschiedliche lineare Gleichungen einstellen und direkt beobachten, wie sich die eingestellten Werte auf die Lösungsmenge auswirken.

Download: lg2vis.ggb

(a) Gib zunächst die Gleichung an, die im Applet voreingestellt ist.

(b) Wenn man die Parameter $a_1$, $a_2$ und $c$ variiert, ergibt sich jeweils eine neue Gleichung mit ihrer veranschaulichten Lösungsmenge. Probiere das selbst aus.

(c) Teste folgende Spezialfälle und erkläre, wie sich die jeweilige Vorgabe auf die Lösungsmenge der betreffenden Gleichung auswirkt.

• $c = 0$
• $a_1 = 0$
• $a_2 = 0$
• $a_1 = 0$ und $a_2 = 0$