Exkurs - Bestimmung von Lösungen mit GeoGebra

Lösungen mit GeoGebra-CAS bestimmen

Lösungen einer Gleichung bzw. eines Gleichungssystems lassen sich in der CAS-Ansicht von GeoGebra mit dem $Löse$-Befehl ermitteln. Der $Löse$-Befehl ist dabei sehr flexibel und kann in unterschiedlichen Situationen benutzt werden. Die folgenden Ausführungen zeigen einige dieser Verwendungssituationen anhand konkreter Beispiele.

Situation: Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen

Beispiel: Gegeben ist die folgende Gleichung:

$x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 4$

Die Gleichung soll nach $x_1$ aufgelöst werden.

Download: loese1.ggb

Aufgabe 1

Löse analog die vorgegenbene Gleichung nach $x_2$ auf.

Hinweis: Indices verwenden

Wenn man in GeoGebra Indices eingeben möchte, dann muss man die Gleichung $x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 4$ so eingeben:

x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 4

Aber Achtung, GeoGebra zeigt die gewünschte Indexdarstellung direkt an. Beim Weitertippen muss man erst wieder mit der Pfeiltaste aus dem Indexbereich herausnavigieren.

Wenn das zu lästig ist, dann kann man die Gleichung $x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 4$ auch in dieser Form eingeben:

x1 - 2x2 + 4x3 = 4

Es werden dann keine Indices angezeigt. Es funktioniert aber trotzdem.

Situation: Eine Gleichung nach allen Variablen auflösen

Beispiel: Gegeben ist die folgende Gleichung:

$x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 4$

Alle Lösungen der Gleichung sollen bestimmt werden.

Download: loese2.ggb

Aufgabe 2

(a) Mache dir nochmal folgenden Zusammenhang klar.

Man erhält alle Lösungen der Gleichung $x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 4$, indem man für $x_2$ eine Zahl $r \in \mathbb{R}$ und für $x_3$ eine Zahl $s \in \mathbb{R}$ vorgibt und dann $x_1$ mit $x_1 = 4 + 2r - 4s$ berechnet. Kurz:

$(x_1; x_2; x_3) = (4 + 2r - 4s; r; s)$ mit $r,s \in \mathbb{R}$

Die Lösungsmenge lässt sich dann so darstellen.

$L = \{(x_1; x_2; x_3) | x_1 = 4 + 2r - 4s; x_2 = r; x_3 = s; r,s \in \mathbb{R}\}$.

(b) Deute jetzt die Darstellung der Lösungen mit GeoGebra. Beachte: GeoGebra verwenndet keine Hilfsparameter $r$ und $s$.

(c) Ändere die Reihenfolge der Variablen in der Variablenliste im Lösebefehl, z.B. so:

$Löse(\{x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 4\}, \{x_2, x_3, x_1\})$

Deute das Ergebnis.

Situation: Ein Gleichungssystem nach allen Variablen auflösen

Beispiel: Gegeben ist das folgende Gleichungssystem:

LGS A:

$\begin{alignat*}{3} [1] &\quad x_1 & - 3x_2 & + 0.5x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad 2x_1 & - x_2 & - x_3 & = & 0 \\ [3] &\quad & - 2x_2 & - 2.5x_3 & = & 0 \\ \end{alignat*}$

Alle Lösungen der Gleichung sollen bestimmt werden.

Den $Löse$-Befehl kann man jetzt mit einer Liste von Gleichungen und einer Liste von Variablen verwenden.

$Löse(\{x_1 - 3x_2 + 0.5x_3 = 0, 2x_1 - x_2 - x_3 = 0, -2x_2 - 2.5x_3 = 0\}, \{x_2, x_3, x_1\})$

Günstig ist es, dabei die einzelnen Gleichungen vorab einzugeben und mit passenden Hilfsvariablen zu verwalten.

Download: loese3.ggb

Aufgabe 3

(a) Führe den$Löse$-Befehl mit der [Return]-Teste aus. Deute das Ergebnis.

(b) Bestimme analog die Lösungen dieses Gleichungssystems. Deute das Ergebnis.

LGS D:

$\begin{alignat*}{3} [1] &\quad 0.5x_1 & + 2x_2 & + 0.5x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad x_1 & - x_2 & + 3x_3 & = & 5 \\ [3] &\quad -x_1 & + x_2 & - 3x_3 & = & 0 \\ \end{alignat*}$

Aufgabe 4

Hier zwei Gleichungssysteme, die unendlich viele Lösungen haben. Ermittle die Lösungen mit GeoGebra. Ergänze jeweils die mathematische Beschreibung der Lösungen, indem du passende Parameter einführst.

LGS B:

$\begin{alignat*}{3} [1] &\quad x_1 & - 2x_2 & + 0.5x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad x_1 & - 2x_2 & - 0.5x_3 & = & 0 \\ [3] &\quad x_1 & - 2x_2 & - 2x_3 & = & 0 \\ \end{alignat*}$

Ergebnis:

$(x_1; x_2; x_3) = ...$

LGS C:

$\begin{alignat*}{3} [1] &\quad -x_1 & + 2x_2 & + 0.5x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad 2x_1 & - 4x_2 & - x_3 & = & 0 \\ [3] &\quad x_1 & - 2x_2 & - 0.5x_3 & = & 0 \\ \end{alignat*}$

Ergebnis:

$(x_1; x_2; x_3) = ...$