Strukturierung - Gleichungssysteme

Gleichungssysteme ordnen

Ziel dieses Abschnitts ist es, Ordnung in die Welt der Gleichungssysteme zu bringen. Bearbeite hierzu die folgenden Aufgaben.

Aufgabe 1

Ein Gleichungssystem besteht aus (in der Regel mehreren) einzelnen Gleichungen. Was macht die Ansammlung von Gleichungen zu einem System von Gleichungen? Betrachte zur Klärung dieser Frage das folgende Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad -t& = & 1 \\ [2] &\quad t &=& -2\\ [3] &\quad 0.5t &=& 0.25 \end{array}$

(a) Jede einzelne Gleichung hat eine Lösung. Bestimme diese Lösungen.

(b) Begründe: Das gesamte Gleichungssystem hat keine Lösung. Formuliere eine Anforderung, die eine Lösung eines Gleichungssystems erfüllen muss.

Aufgabe 2

Gleichungssysteme können unterschiedlich aufgebaut sein. Betrachte hierzu folgende Beispiele.

Beispiel 1:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad r &+& s & = & 3 \\ [2] &\quad 2r &-& s &=& 4\\ \end{array}$

Beispiel 2:

$\begin{array}{lccccrcr} [1] &\quad x^2 &+& y^2 & = & 25 \\ [2] &\quad x &-& y &=& 1\\ \end{array}$

Beispiel 3:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad a^2 + 2ab + b^2 &= & 25 \\ [2] &\quad a^3 \dot b + 1 &=& 25\\ \end{array}$

(a) In Beispiel 1 ist ein lineares Gleichungssystem gegeben. Erläutere, was der Begriff "linear" hier beschreibt.

(b) Warum sind die Gleichungssysteme in Beispiel 2 und 3 keine linearen Gleichungssysteme? Formuliere eine Anforderung, die ein linearen Gleichungssystem erfüllen muss.

Aufgabe 3

In den letzten Abschnitten sind zahlreiche lineare Gleichungssysteme aufgetreten. Ordne sie nach selbst gewählten Kriterien.

Beispiel 1: ...