Erkundung - Geometrische Probleme

Lageprobleme

Gegeben sind eine Ebene $E$, eine Gerade $g$ und ein Punkt $P$.

$E$: $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-0.5\\ 1\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-0.5\\ 0\\ 0.5\end{array}\right)$ (mit $r,s\in \mathbb{R}$)

$g$: $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0.5\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

$P(-1|1.5|4.75)$

Im Applet sind die geometrischen Objekte dargestellt.

Download: geoobjekte1.ggb

Nicht ganz klar ist jedoch die gegenseitige Lage der Objekte zueinander. Folgende Fragen wären zu klären:

• Liegt der Punkt $P$ auf der Geraden $g$?
• Liegt der Punkt $P$ in der Ebene $E$?
• Schneidet die Gerade $g$ die Ebene $E$?

Lösung der Probleme mit Gleichungssystemen

Die Lageprobleme lassen sich mit Gleichungssystemen lösen.

Aufgabe 1

Erkläre, wie man vom jeweiligen Lageproblem zum passenden Gleichungssystem gelangt.

LGS A:

$\begin{array}{lrcr}[1]& -t& =& -1\\ [2]& t& =& -2\\ [3]& 0.5t& =& 0.25\end{array}$

LGS B:

$\begin{array}{lrcrcr}[1]& -0.5r& -& 0.5s& =& -1\\ [2]& r& & & =& 0.25\\ [3]& & & 0.5s& =& 0.75\end{array}$

LGS C:

$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& -0.5r& -& 0.5s& +& t& =& 0\\ [2]& r& & & -& t& =& 0\\ [3]& & & 0.5s& -& 0.5t& =& 0.5\end{array}$

Aufgabe 2

Löse die Lageprobleme, indem du die Lösungen zum jeweilige Gleichungssystem (ggf. mit einem Werkzeug) bestimmst und dann deutest.

★ Aufgabe 3

Betrachte zusätzlich zur Ebene $E$ eine weitere Ebene $F$. Hier die Ebenengleichungen der beiden Ebenen:

$E$: $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-0.5\\ 1\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-0.5\\ 0\\ 0.5\end{array}\right)$ (mit $r,s\in \mathbb{R}$)

$F$: $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 4\end{array}\right)+p\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0.5\end{array}\right)+q\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ (mit $p,q\in \mathbb{R}$)

Schneiden sich die Ebenen $E$ und $F$? Löse dieses Problem, indem du ein passendes Gleichungssystem aufstellst und es mit einem geeigneten Werkzeug löst.