Erkundung - Geometrische Probleme
Lageprobleme
Gegeben sind eine Ebene $E$, eine Gerade $g$ und ein Punkt $P$.
$E$: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 0 \\ 0.5 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)
$g$: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 4.5 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0.5 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)
$P(-1|1.5|4.75)$
Im Applet sind die geometrischen Objekte dargestellt.
Download: geoobjekte1.ggb
Nicht ganz klar ist jedoch die gegenseitige Lage der Objekte zueinander. Folgende Fragen wären zu klären:
- Liegt der Punkt $P$ auf der Geraden $g$?
- Liegt der Punkt $P$ in der Ebene $E$?
- Schneidet die Gerade $g$ die Ebene $E$?
Lösung der Probleme mit Gleichungssystemen
Die Lageprobleme lassen sich mit Gleichungssystemen lösen.
Aufgabe 1
Erkläre, wie man vom jeweiligen Lageproblem zum passenden Gleichungssystem gelangt.
LGS A:
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad -t & = & -1 \\ [2] &\quad t & = & -2\\ [3] &\quad 0.5t & = & 0.25 \end{array}$
LGS B:
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad -0.5r &-& 0.5s & = & -1 \\ [2] &\quad r &&& = & 0.25\\ [3] &\quad &&0.5s & = & 0.75 \end{array}$
LGS C:
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad -0.5r &-& 0.5s &+& t & = & 0 \\ [2] &\quad r && &-& t & = & 0\\ [3] &\quad && 0.5s &-& 0.5t & = & 0.5 \end{array}$
Aufgabe 2
Löse die Lageprobleme, indem du die Lösungen zum jeweilige Gleichungssystem (ggf. mit einem Werkzeug) bestimmst und dann deutest.
★ Aufgabe 3
Betrachte zusätzlich zur Ebene $E$ eine weitere Ebene $F$. Hier die Ebenengleichungen der beiden Ebenen:
$E$: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 0 \\ 0.5 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)
$F$: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right) + p \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0.5 \end{array}\right) + q \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)$ (mit $p, q \in \mathbb{R}$)
Schneiden sich die Ebenen $E$ und $F$? Löse dieses Problem, indem du ein passendes Gleichungssystem aufstellst und es mit einem geeigneten Werkzeug löst.
