Erkundung - Umformung es LGS
Orientierung - Gleichungssysteme äquivalent umformen
Wenn man eine Gleichung nach einer Variablen auflösen will, dann benutzt man passende Äquivalenzumformungen.
Eine Äquivalenzumformung bei einer Gleichung ist eine Umformung der Gleichung, die die Lösungsmenge nicht verändert.
Beispiel:
$\begin{array}{lrll} 4x - 7 & = & 2x + 3 & | -2x \\ 2x - 7 & = & 3 & | +7 \\ 2x & = & 10 & | :2 \\ x & = & 5 & | :2 \\ \end{array}$
Äquivalenzumformungen spielen auch beim Lösen von Gleichungssystemen eine wichtige Rolle. Im Folgenden sollen solche Äquivalenzumformungen von Gleichungssystemen genauer betrachtet werden.
Wir betrachten hierzu das folgende lineare Gleichungssystem.
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & 2x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad -x_1 & + & x_2 & + & x_3 & = & 1 \\ [3] &\quad 2x_1 & + & 3x_2 & + & x_3 & = & 0 \end{array}$
Dieses Gleichungssystem hat die Lösung $(x_1; x_2; x_3) = (1; -2; 4)$. Das kannst du direkt durch Einsetzen der Werte in die Gleichungen überprüfen.
Gleichungen umformen
Hier kannst du Experimente zum Umformen von Gleichungen durchführen.
Zum Herunterladen: rechnen1.ggb
Aufgabe 1
In der CAS-Ansicht von GeoGebra kann man mit Gleichungen rechnen. Probiere das aus, indem du folgende Ausdrücke eingibst und mit der [Return]-Taste auswertest. Beschreibe die Auswirkungen der Rechenoperationen auf die Gleichungen.
- $2\cdot G1$
- $4 G3$
- $(-1) \cdot G3$
- $- G1$
- $0.5 G3$
- $G1$
- $0 \cdot G3$
- $G1 + G2$
- $G1 - G2$
- $3G1 + 2G3$
Ein Gleichungssystem äquivalent umformen
Die Rechenoperationen kannst man nutzen, um ein LGS umzuformen. In der CAS-Ansicht von GeoGebra kannst du untersuchen, wie sich solche Rechenoperationen auf die Lösungsmenge des LGS auswirken.
Zum Herunterladen: aequivalenz1.ggb
Aufgabe 2
Werte im Applet zunächst die Zeile 4 mit der [Return]-Taste aus. Dann wird die Lösung des LGS $\{G1, G2, G3\}$ angezeigt. Gib anschließend die folgenden Befehle eine und mit sie mit der [Return]-Taste aus. Beschreibe die Auswirkungen der Rechenoperationen auf die Lösungsmenge des umgeformten Gleichungssystems.
- $Löse(\{2G1, G2, G3\}, \{x_1, x_2, x_3\})$
- $Löse(\{G1+G2, G2, G3\}, \{x_1, x_2, x_3\})$
- $Löse(\{G1, G2-G3, G3\}, \{x_1, x_2, x_3\})$
- $Löse(\{3G1+2G3, G2, 4G3\}, \{x_1, x_2, x_3\})$
- $Löse(\{0 \cdot G1, G2, G3\}, \{x_1, x_2, x_3\})$
