Erkundung - Ein Rätsel von Lewis Carroll
A Tangled Tale
"A Tangled Tale" (Geschichten mit Knoten) - so heißt eine Sammlung von 10 Geschichten des Schriftstellers Lewis Carroll, in denen jeweils mathematische Probleme vorgestellt werden.
Wir betrachten hier die 4. Geschichte mit dem Titel "The Dead Reckoning". Die gesammte Geschichte kannst du hier nachlesen. In dieser Geschichte kommt folgende Passage vor.
"They did have five separate weighings," the Captain said, "but—Well, it beats me entirely!" he added, in a sudden burst of candour. "Here's the result. First and second sack weighed twelve pounds; second and third, thirteen and a half; third and fourth, eleven and a half; fourth and fifth, eight: and then they say they had only the large hammer left, and it took three sacks to weigh it down—that's the first, third and fifth—and they weighed sixteen pounds. There, gentlemen! Did you ever hear anything like that?"
Das Problem
In dieser Geschichte kommen also 5 Säcke vor. Die Säcke werden nicht einzeln, sondern nur in bestimmten Konstellationen gewogen - mit folgenden Ergebnissen:
- Sack 1 und 2 wiegen zusammen 12 Pfund.
- Sack 2 und 3 wiegen zusammen 13.5 Pfund.
- Sack 3 und 4 wiegen zusammen 11.5 Pfund.
- Sack 4 und 5 wiegen zusammen 8 Pfund.
- Sack 1, 3 und 5 wiegen zusammen 16 Pfund.
Das Problem besteht darin, aus den Ergebnissen der Wägungen die Gewichte der einzelnen Säcke zu bestimmen.
Eine mathematische Modellierung
Eine gängige Strategie in der Mathematik besteht darin, unbekannte Größen mit Hilfe von Variablen zu beschreiben. Im vorliegenden Kontext bietet sich folgender Ansatz an:
- $x_1$: Gewicht von Sack 1 in Pfund.
- $x_2$: Gewicht von Sack 1 in Pfund.
- $x_3$: Gewicht von Sack 1 in Pfund.
- $x_4$: Gewicht von Sack 1 in Pfund.
- $x_5$: Gewicht von Sack 1 in Pfund.
Die Informationen in der Geschichte lassen sich dann mathematisch mit Hilfe von Gleichungen beschreiben.
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 + x_2 & = & 12 \\ [2] &\quad \\ [3] &\quad \\ [4] &\quad \\ [5] &\quad \end{array}$
Aufgabe 1
Ergänze das Gleichungssystem passend zu den oben gegebenen Informationen über die Gewichte der Säcke.
Lösung des Problems
Wenn es gelingt, die Lösung des Gleichungssystems zu bestimmen, dann sind damit auch die Gewichte der Säcke bekannt und das Problem ist gelöst. Ziel ist es demnach, die / eine Lösung des Gleichungssystems zu berechnen.
Die Schwierigkeit besteht hier darin, dass in dem Gleichungssystem 5 Gleichungen mit 5 Unbekannten vorkommen. Das sieht erst mal sehr kompliziert aus. Vielleicht gelingt es dir trotzdem, die Lösung zu bestimmen und so das Problem zu knacken.
Aufgabe 2
Versuche, das Gleichungssystem zu lösen. Entwickle erst eine Strategie, mit der man durch Kombination von Gleichungen die Anzahl der Variablen reduzieren kann.
Man kann versuchen, die Variablen $x_1$, $x_2$, $x_4$ und $x_5$ durch $x_3$ zu ersetzen. Dazu löst man Gleichungen passend nach Variablen auf und setzt sie ggf. ineinander ein.
Löse Gleichung $[1]$ nach $x_1$ und Gleichung $[2]$ nach $x_2$ auf. Setze das Ergebnis für $x_2$ in den Ausdruck für $x_1$ ein. Man erhält dann $x_1 = ... + x_3$. Bestimme analog eine Darstellung $x_5 = ... + x_3$. Setze die Ergebnisse in Gleichung $[5]$ ein und löse sie nach $x_3$ auf. Zur Kontrolle: $x_3 = 7$.
Wenn man alle 5 Gleichungen addiert, erhält man $2x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 2x_4 + 2x_5 = 61$. Wenn man jetzt geeignet wieder Gleichungen subtrahiert, bleibt eine Gleichung übrig, in der nur die Variable $x_3$ vorkommt.
Subtrahiere 2-mal Gleichung $[1]$ und 2-mal Gleichung $4$. Löse dann die entstehende Gleichung nach $x_3$ auf. Zur Kontrolle: $x_3 = 7$.
★ Aufgabe 3
Eine neue Situation:
- Sack 1, 2 und 3 wiegen zusammen 24 Pfund.
- Sack 2, 3 und 4 wiegen zusammen 21 Pfund.
- Sack 3, 4 und 5 wiegen zusammen 28 Pfund.
- Sack 1, 2, 3, 4 und 5 wiegen zusammen 46 Pfund.
Gelingt es dir auch hier, die Gewichte der Säcke zu ermitteln? Achtung: Es gibt nur 4 Gleichungen für die 5 Variablen. Welche Auswirkung könnte das haben?
