Zusammenfassung - Gauß-Verfahren

Das Ziel - ein LGS systematisch lösen

Wenn man ein LGS mit vielen Gleichungen und vielen Variablen lösen möchte, sollte man dabei systematisch vorgehen, um den Überblick nicht zu verlieren.

Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist ein algorithmisches Verfahen. D.h., es kann von einem Computer durchgeführt werden. Jedes Computeralgebrasystem benutzt ein solches Verfahren beim Lösen von linearen Gleichungssystemen.

Ein Beispiel

Schritt A: Umwandlung des LGS in Stufenform:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 4x_1 & - & 8x_2 & - & 8x_3 & = & 4 \\ [2] &\quad 2x_1 & + & x_2 & + & 3x_3 & = & 3 \\ [3] &\quad -3x_1 & + & 3x_2 & - & x_3 & = & 2 \end{array}$

$[1] \leftarrow [1] \cdot (1/4)$

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & 2x_2 & - & 2x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad 2x_1 & + & x_2 & + & 3x_3 & = & 3 \\ [3] &\quad -3x_1 & + & 3x_2 & - & x_3 & = & 2 \end{array}$

$[2] \leftarrow [2] + [1] \cdot (-2)$

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & 2x_2 & - & 2x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad & & 5x_2 & + & 7x_3 & = & 1 \\ [3] &\quad -3x_1 & + & 3x_2 & - & x_3 & = & 2 \end{array}$

$[3] \leftarrow [3] + [1] \cdot 3$

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & 2x_2 & - & 2x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad & & 5x_2 & + & 7x_3 & = & 1 \\ [3] &\quad & &-3x_2 & - & 7x_3 & = & 5 \end{array}$

$[3] \leftarrow [3] + [2]$

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & 2x_2 & - & 2x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad & & 5x_2 & + & 7x_3 & = & 1 \\ [3] &\quad & & 2x_2 & & & = & 6 \end{array}$

Schritt B: Bestimmung der Lösun(en) des LGS in Stufenform:

Auflösen von [3] nach $x_2$ liefert $x_2 = 3$.

Einsetzen von $x_2 = 3$ in [2] und Auflösen nach $x_3$ liefert $x_3 = -2$.

Einsetzen von $x_2 = 3$ und $x_3 = -2$ in [1] und Auflösen nach $x_1$ liefert $x_1 = -3$.

Ergebnis: Die Lösung des vorgegebenen LGS lautet: $x_1 = -3$, $x_2 = 3$; $x_3 = -2$ bzw. $(x_1, x_2, x_3) = (-3, 3, -2)$.

Die Grundidee - ein LGS äquivalent umwandeln

Die Grundidee besteht darin, ein vorgegebenes LGS in Rechteckform mit Hilfe von Äquivalenzumformungen in ein LGS in Stufenform umzuwandeln.

Start: LGS in Rechteckform:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad ...x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \\ [2] &\quad ...x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \\ [3] &\quad ...x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \end{array}$

Ziel: LGS in Stufenform:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad ...x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \\ [2] &\quad 0x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \\ [3] &\quad 0x_1 & + & 0x_2 & + & ...x_3 & = & ... \end{array}$

oder eine Variante wie z.B.:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad ...x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \\ [2] &\quad 0x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \\ [3] &\quad 0x_1 & + & ...x_2 & + & 0x_3 & = & ... \end{array}$

Die Lösungen des LGS in Stufenform lassen sich direkt Schritt für Schritt bestimmen. Diese Lösungen sind dann auch die Lösungen des vorgegebenen LGS, da die Lösungsmenge bei den durchgeführten Äquivalenzumfomungen nicht verändert wird.

Die Umformungen - Gleichungen multiplizieren und addieren

Beim Umwandeln eines vorgegebenen LGS sind folgende Äquivalenzumformungen erlaubt:

• eine Gleichung mit einer beliebigen reellen Zahl ungleich 0 multiplizieren (Beispiel: $[1] \leftarrow [1] \cdot 2$)
• eine Gleichung zu einer anderen hinzuaddieren (Beispiel: $[2] \leftarrow [1] + [2]$)
• eine Gleichung mit einer anderen vertauschen(Beispiel: $[3] \leftrightarrow [2]$)
• ... sowie Kombinationen dieser Operationen wie ...
• ein Vielfaches (ungleich 0) einer Gleichung zu einer anderen hinzuaddieren (Beispiel: $[3] \leftarrow [2] \cdot 4 + [3]$)
• ein Vielfaches (ungleich 0) einer Gleichung zu einem Vielfachen (ungleich 0) einer anderen Gleichung hinzuaddieren (Beispiel: $[3] \leftarrow [2] \cdot 4 + [3] \cdot (-1)$)

Diese Umformungen setzt man so ein, dass Variablen nach und nach eliminiert werden, bis man die gewünschte Stufenform erhält.