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Zusammenfassung - Gauß-Verfahren

Das Ziel - ein LGS systematisch lösen

Wenn man ein LGS mit vielen Gleichungen und vielen Variablen lösen möchte, sollte man dabei systematisch vorgehen, um den Überblick nicht zu verlieren.

Das Gauß-Verfahren bzw. Gaußsches-Eliminationsverfahren ist ein Verfahren, mit dem man beliebige lineare Gleichungssysteme systematisch lösen kann.

Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist ein algorithmisches Verfahen. D.h., es kann von einem Computer durchgeführt werden. Jedes Computeralgebrasystem benutzt ein solches Verfahren beim Lösen von linearen Gleichungssystemen.

Ein Beispiel

Gegeben: ein LGS

[1]4x1−8x2−8x3=4[2]2x1+x2+3x3=3[3]−3x1+3x2−x3=2

Gesucht: die Lösung(en) des LGS

Schritt A: Umwandlung des LGS in Stufenform:

[1]4x1−8x2−8x3=4[2]2x1+x2+3x3=3[3]−3x1+3x2−x3=2

[1]←[1]⋅(1/4)

[1]x1−2x2−2x3=1[2]2x1+x2+3x3=3[3]−3x1+3x2−x3=2

[2]←[2]+[1]⋅(−2)

[1]x1−2x2−2x3=1[2]5x2+7x3=1[3]−3x1+3x2−x3=2

[3]←[3]+[1]⋅3

[1]x1−2x2−2x3=1[2]5x2+7x3=1[3]−3x2−7x3=5

[3]←[3]+[2]

[1]x1−2x2−2x3=1[2]5x2+7x3=1[3]2x2=6

Schritt B: Bestimmung der Lösun(en) des LGS in Stufenform:

Auflösen von [3] nach x2 liefert x2=3.

Einsetzen von x2=3 in [2] und Auflösen nach x3 liefert x3=−2.

Einsetzen von x2=3 und x3=−2 in [1] und Auflösen nach x1 liefert x1=−3.

Ergebnis: Die Lösung des vorgegebenen LGS lautet: x1=−3, x2=3; x3=−2 bzw. (x1,x2,x3)=(−3,3,−2).

Die Grundidee - ein LGS äquivalent umwandeln

Die Grundidee besteht darin, ein vorgegebenes LGS in Rechteckform mit Hilfe von Äquivalenzumformungen in ein LGS in Stufenform umzuwandeln.

Start: LGS in Rechteckform:

[1]...x1+...x2+...x3=...[2]...x1+...x2+...x3=...[3]...x1+...x2+...x3=...

Ziel: LGS in Stufenform:

[1]...x1+...x2+...x3=...[2]0x1+...x2+...x3=...[3]0x1+0x2+...x3=...

oder eine Variante wie z.B.:

[1]...x1+...x2+...x3=...[2]0x1+...x2+...x3=...[3]0x1+...x2+0x3=...

Die Lösungen des LGS in Stufenform lassen sich direkt Schritt für Schritt bestimmen. Diese Lösungen sind dann auch die Lösungen des vorgegebenen LGS, da die Lösungsmenge bei den durchgeführten Äquivalenzumfomungen nicht verändert wird.

Die Umformungen - Gleichungen multiplizieren und addieren

Beim Umwandeln eines vorgegebenen LGS sind folgende Äquivalenzumformungen erlaubt:

  • eine Gleichung mit einer beliebigen reellen Zahl ungleich 0 multiplizieren (Beispiel: [1]←[1]⋅2)
  • eine Gleichung zu einer anderen hinzuaddieren (Beispiel: [2]←[1]+[2])
  • eine Gleichung mit einer anderen vertauschen(Beispiel: [3]↔[2])
  • ... sowie Kombinationen dieser Operationen wie ...
  • ein Vielfaches (ungleich 0) einer Gleichung zu einer anderen hinzuaddieren (Beispiel: [3]←[2]⋅4+[3])
  • ein Vielfaches (ungleich 0) einer Gleichung zu einem Vielfachen (ungleich 0) einer anderen Gleichung hinzuaddieren (Beispiel: [3]←[2]⋅4+[3]⋅(−1))

Diese Umformungen setzt man so ein, dass Variablen nach und nach eliminiert werden, bis man die gewünschte Stufenform erhält.

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