Erkundung - Lineare Gleichungen mit 3 Variablen

Lösungen einer linearen Gleichung

Betrachte als Beispiel die folgende lineare Gleichung mit 3 Variablen:

$x_1-2x_2+4x_3=4$

Aufgabe 1

(a) Die Gleichung $x_1-2x_2+4x_3=4$ hat viele Lösungen, u.a.:

• $x_1=4;x_2=0;x_3=0$ bzw. in Kurzform $(4;0;0)$
• $x_1=2;x_2=1;x_3=1$ bzw. in Kurzform $(2;1;1)$

(b) Ergänze zu weiteren Lösungen der Gleichung:

• $(...;0;1)$
• $(...;0;2)$
• $(...;0;3)$
• $(...;1;0)$
• $(...;1;1)$
• $(...;1;2)$
• $(...;2;1)$
• $(...;2;2)$
• $(...;3;3)$

(c) Begründe: Man erhält alle Lösungen der Gleichung, indem man für $x_2$ eine Zahl $r\in \mathbb{R}$ und für $x_3$ eine Zahl $s\in \mathbb{R}$ vorgibt und dann $x_1$ mit $x_1=4+2r-4s$ berechnet. Kurz:

• $x_2=r$
• $x_3=s$
• $x_1=4+2r-4s$

(d) Erläutere die folgende mathematische Kurzschreibweise für die Lösungsmenge der gegebenen linearen Gleichung:

$L=\{(x_1;x_2;x_3)|x_1=4+2r-4s;x_2=r;x_3=s;r,s\in \mathbb{R}\}$.

Veranschaulichung der Lösungen einer linearen Gleichung

Betrachte weiterhin die folgende lineare Gleichung:

$x_1-2x_2+4x_3=4$

Die Lösungen dieser Gleichung lassen sich in einem 3D-Koordinatensystem veranschaulichen.

Download: lg3.ggb

Aufgabe 2

(a) Veranschauliche weitere Lösungen der Gleichung, indem du die Zahlentripel im Eingabefeld eingibst. Drehe dann das Koordinatensystem so, dann man erkennen kann, auf welchem geometrischen Gebilde alle Lösungen liegen.

(b) Welche Schlüsse lassen sich aus der folgenden Umformungen ziehen. Erläutere kurz.

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4+2r-4s\\ r\\ s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

(c) Im Applet kannst du im Algebrafenster (das ist das untere Fenster) nach oben scrollen und die erste Zeile einblenden (hierzu links auf den Kreis klicken). Damit kannst du die Vermutungen aus (a) und (b) überprüfen.