Erkundung – Mittenviereck

Hauptstädte in Europa

Auf der Europakarte sind vier Landeshauptstädte zum Viereck $ABCD$ verbunden. Außerdem ist das „Mittenviereck“ $EFGH$ eingezeichnet.

Zum Herunterladen: mittenviereck1n.ggb, verwendetes Bild: [1]

Aufgabe 1 (Einstieg)

(a) Kläre zunächst, welche Landeshauptstädte hier zu einem Viereck verbunden sind.

(b) Erläutere, wie das Mittenviereck $EFGH$ aus dem originalen Viereck $ABCD$ hervorgeht.

(c) Das Mittenviereck sieht aus wie ein besonderes Viereck. Erläutere, um welche Art von Viereck es sich – zumindest anscheinend – handelt und was solche Vierecke auszeichnet.

(d) In der Mathematik stellt man sich bei vielen Themen die Frage: „Ist das nur hier so oder gilt das generell?“ Das bedeutet in diesem Fall konkret: Haben wir nur zufällig die richtigen Landeshauptstädte ausgewählt oder bleibt die Form des Mittenvierecks gleich, auch wenn wir andere europäische Hauptstädte auswählen? Probiere das aus und formuliere anschließend deine Vermutung zum Mittenviereck.

🎯 Leitfrage und weiteres Vorgehen

Bildet das Mittenviereck wirklich ein Parallelogramm, oder sieht das nur so aus? Gilt das auch für andere Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$?

Oft nutzt man in der Mathematik folgende Vorgehensweise:

1. Erst wird durch Experimente eine Vermutung entwickelt. Das hast du in Aufgabe 1 getan.
2. Dann überprüft man die Vermutung an vielen Beispielen. Das geschieht in Aufgabe 2.
3. Auch bei 100 überprüften Beispielen könnte die Vermutung im 101. Beispiel fehlschlagen. Mit einem Beweis können wir zeigen, dass die Vermutung bei allen Beispielen gilt. Das betrachten wir in Aufgabe 3.

Untersuchungen zum Mittenviereck

Wir lösen uns von den Landeshauptstädten und untersuchen möglichst viele allgemeine Mittenvierecke im Hinblick auf unsere Vermutung.

Aufgabe 2 (Erarbeitung)

Anleitung für die Durchführung der Aufgabe

Die Aufgabe bearbeitest du am besten als Gruppenpuzzle. Mit 20 Personen könnt ihr so vorgehen; bei anderen Personenzahlen muss man die Gruppenanzahl und -größe anpassen:

1. Teilt euch in fünf Vierergruppen auf. Das sind die Stammgruppen. In den Stammgruppen wird Aufgabenteil (a) bearbeitet.
2. Zählt in eurer Stammgruppe bis 4 durch. Nun treffen sich alle mit der Nummer 1 an einem Tisch, alle mit der Nummer 2 an einem anderen Tisch usw. Das sind die Expertengruppen. In den Expertengruppen wird Aufgabenteil (b) bearbeitet.
3. Im Anschluss treffen sich noch einmal alle Stammgruppen und bearbeiten die Aufgabenteile (c) und (d).

(a) – Stammgruppen: Probiere aus, die Eckpunkte im Applet unter der Aufgabe zu verschieben, und beobachte das Mittenviereck. Versuche möglichst verschiedene Vierecke einzustellen, um deine Vermutung zu überprüfen. Überlege dir: Was kannst du nach dieser Überprüfung über das Mittenviereck sagen?

🔑 Auflösung

Bei den von uns untersuchten Vierecken sah das Mittenviereck stets wie ein Parallelogramm aus. Aber zwei Punkte sind noch nicht klar:

• Ist das bei allen Vierecken so (oder haben wir nur zufällig passende Beispiele gewählt)?
• Sind es wirklich Parallelogramme oder sehen die Vierecke nur so aus (und die Seiten sind nur „fast parallel“)?

Für die zweite Frage gehen wir so vor, wie wir es aus der analytischen Geometrie schon gewohnt sind: Wir lösen das geometrische Problem algebraisch, also durch Rechnungen.

(b) – Expertengruppen: Entscheidet euch in der Gruppe für eine Position der vier Eckpunkte $A$, $B$, $C$ und $D$. Wir wollen das Viereck $EFGH$ untersuchen. Bestimme dafür rechnerisch die Koordinaten der Vektoren $\overrightarrow{EF}$, $\overrightarrow{FG}$, $\overrightarrow{HG}$ und $\overrightarrow{EH}$. Beschreibt, was euch dabei auffällt.

💡 Tipp zum Vorgehen

$E$ ist der Mittelpunkt von $A$ und $B$. Seine Koordinaten bestimmt ihr als Mittelwert der Koordinaten von $A$ und $B$, also $E\left( \frac{a_1+b_1}{2} | \frac{a_2+b_2}{2} \right)$. Die Koordinaten der anderen Punkte könnt ihr genauso bestimmen.

(c) – Stammgruppen: Vergleicht eure Ergebnisse aus Aufgabenteil (b). Haben alle Expertengruppen dieselben Beobachtungen gemacht? Könnt ihr damit begründen, dass das Mittenviereck $EFGH$ wirklich ein Parallelogramm ist?

(d) – Stammgruppen: Erklärt, welchen Fortschritt ihr nun durch diese Aufgabe gemacht habt. Was wissen wir nun mehr als vor der Aufgabe? Können wir nun definitiv unsere Vermutung bestätigen oder noch nicht?

Zum Herunterladen: mittenviereck3b.ggb

Aufgabe 3 (Vertiefung)

Die Berechnungen in Aufgabe 2 betreffen nur einige Vierecke. Wir könnten nun immer weitere Berechnungen durchführen – mit dem immer gleichen Ergebnis, dass das Mittenviereck ein Parallelogramm ist. Wir wollen nun jedoch viel allgemeiner herangehen und die Vermutung direkt für jedes beliebige Viereck überprüfen.

(a) Wir betrachten im Applet unter der Aufgabe die roten Vektoren: Beschreibe den geometrischen Zusammenhang zwischen den Vektoren.

(b) Anscheinend hängen die Vektoren $\overrightarrow{EF}$ und $\overrightarrow{HG}$ auch mit dem Vektor $\overrightarrow{AC}$ zusammen. Berechne die Vektoren in der voreingestellten Form und beschreibe den Zusammenhang.

(c) Um einen allgemeinen Zusammenhang zu beweisen, nutzen wir eine Umformung. Begründe jeden einzelnen Umformungsschritt:

$\overrightarrow{ EF } = \overrightarrow{ EB } + \overrightarrow{ BF } = \frac{1}{2} \overrightarrow{ AB } + \frac{1}{2} \overrightarrow{ BC } = \frac{1}{2} (\overrightarrow{ AB } + \overrightarrow{ BC }) = \frac{1}{2} \overrightarrow{ AC }$

(d) Führe analoge Umformungen durch und begründe damit, dass die Seiten $EF$ und $HG$ sowie die Diagonale $AC$ parallel sind: $\overrightarrow{ HG } = ...$

(e) 🚀 Blende die grünen Vektoren ein und gehe dieselben Überlegungen durch.

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🎯 Rückschau auf die Leitfrage und das Vorgehen

Wir haben den folgenden Satz herausgefunden:

Für jedes Viereck in der zweidimensionalen Ebene bilden die Mittelpunkte der Seiten ein Parallelogramm.

Dieser Satz ist nicht „vom Himmel gefallen“; das gilt grundsätzlich in der Mathematik:

1. Erst wird durch Experimente eine Vermutung entwickelt.
2. Dann überprüft man die Vermutung an vielen Beispielen – oft erst anschaulich und dann genau.
3. Um sicherzustellen, dass die Aussage immer gilt, sucht man einen Beweis.