Übungen – Lineare Abhängigkeit

Aufgabe 1 – 3D-Mittenviereck ★

In dieser Aufgabe sollst du überprüfen, ob ein Mittenviereck zu einem 3D-Viereck auch ein Parallelogramm ist.

Gegeben ist das Viereck ABCD mit $A(2|-3|1)$, $B(1|3|2)$, $C(-3|1|0)$ und $D(2|4|5)$.

(a) Bestimme zunächst die Koordinaten der Seitenmitten $E$, $F$, $G$ und $H$. Kontrolliere mit dem Applet unter der Aufgabe.

(b) Überprüfe mit Hilfe geeigneter Vektoren, ob das Mittenviereck $EFGH$ ein Parallelogramm ist.

(c) Wähle selbst die Koordinaten des Vierecks $ABCD$ und überprüfe, ob auch hier das zugehörige Mittenviereck $EFGH$ ein Parallelogramm ist.

Zum Herunterladen: mittenviereck3D2.ggb

Aufgabe 2 – Parallelogramme ★★

Bisher haben wir folgendes Kriterium zur Überprüfung der Parallelogrammeigenschaft benutzt:

In einem Viereck $ABCD$ gilt: Wenn in einem Viereck $\overrightarrow{ AB } = \overrightarrow{ DC }$ und $\overrightarrow{ BC } = \overrightarrow{ AD }$ gilt, dann handelt es sich um ein Parallelogramm.

Hier sollst du ein noch einfacheres Kriterium entwickeln, mit dem man prüfen kann, ob ein Viereck ein Parallelogramm ist.

(a) Gegeben sind die Punkte $A(3|-1|-2)$, $B(5|4|0)$ und $C(4|4|-1)$. Bestimme den Punkt $D$ so, dass $\overrightarrow{ AB } = \overrightarrow{ DC }$ gilt. Überprüfe, ob dann auch $\overrightarrow{ BC } = \overrightarrow{ AD }$ gilt.

(b) Ist das immer so? Wenn in einem Viereck $\overrightarrow{ AB } = \overrightarrow{ DC }$ gilt, dann gilt auch $\overrightarrow{ BC } = \overrightarrow{ AD }$. Überprüfe das mit einem weiteren selbst gewählten Beispiel.

(c) Die Aussage „Wenn $\overrightarrow{ AB } = \overrightarrow{ DC }$, dann gilt auch $\overrightarrow{ BC } = \overrightarrow{ AD }$“ soll jetzt allgemein nachgewiesen werden. Das ist recht einfach, wenn man mit den Vektoren rechnet. Wir führen dazu die Ortsvektoren der vier Punkte des Parallelogramms ein.

Ergänze die folgende Argumentation:

$\overrightarrow{ AB } = \overrightarrow{ DC }$

$\Rightarrow$ $\vec{b} - \vec{a} = ...$

$\Rightarrow$ $\vec{c} - \vec{b} = ...$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{ DA } = ...$

(d) Warum vereinfacht das Ergebnis aus (c) die Überprüfung der Parallelogrammeigenschaft? Begründe kurz.

(e) Zeige mit einem Gegenbeispiel, dass die folgende Aussage falsch ist:

„Wenn die Vektoren $\overrightarrow{ AB }$ und $\overrightarrow{ CD }$ linear abhängig sind, dann sind auch die Vektoren $\overrightarrow{ BC }$ und $\overrightarrow{ DA }$ linear abhängig.“