Exkurs – Allgemeiner Vektorbegriff
Vektor als Zahlentupel – eine verallgemeinerte Sicht
Im vorangegangenen Abschnitt haben wir Vektoren als Zahlenpaare oder Zahlentripel eingeführt und sie als geometrische Verschiebungen gedeutet. Diese Sichtweise kann man verallgemeinern.
Ein Vektor ist ein Tupel (also eine endliche Folge) bestehend aus beliebig vielen reellen Zahlen.
Beispiel: Umsatz eines Eisverkäufers
Ein Straßeneisverkäufer bietet die Eissorten Vanille, Schoko, Walnuss und Erdbeer an. Die folgenden Vektoren beschreiben die Anzahl der jeweils verkauften Kugeln innerhalb einer Woche.
$\left(\begin{array}{c} 231 \\ 85 \\ 91 \\ 50 \end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c} 199 \\ 107 \\ 78 \\ 76 \end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c} 204 \\ 99 \\ 40 \\ 37 \end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c} 180 \\ 120 \\ 86 \\ 91 \end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c} 301 \\ 166 \\ 132 \\ 105 \end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c} 321 \\ 132 \\ 97 \\ 99 \end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$.
Das Beispiel zeigt, dass Vektoren als Zahlentupel nicht nur geometrisch gedeutet werden können. Zahlentupel können in unterschiedlichsten Kontexten eine Rolle spielen. Vektoren sind somit ein mathematisches Werkzeug, das vielfältig eingesetzt werden kann. Wir werden diese verallgemeinernde Sicht im Kapitel zur Analytischen Geometrie nicht weiter verfolgen.
Vektor als Rechenobjekt – die abstrakte Sicht
Der Vektorbegriff lässt sich sogar noch weiter abstrahierend verallgemeinern. Diese sehr abstrakte Sicht wird in der Hochschulmathematik verwendet und spielt hier im Folgenden keine Rolle. Die Grundidee soll nichtsdestotrotz hier kurz skizziert werden.
Ein Vektor ist ein Objekt, mit dem man nach bestimmten vorgegebenen Gesetzen rechnen kann.
Beispiel: Magische Quadrate
Im Bild „Melancolia“ von Albrecht Dürer ist ein Zahlenquadrat zu sehen mit folgender Zahlenanordnung:
$\left( \begin{array}{rrrr} 16 & 3 & 2 & 13 \\ 5 & 10 & 11 & 8 \\ 9 & 6 & 7 & 12 \\ 4 & 15 & 14 & 1 \\ \end{array}\right)$
Das Besondere an diesem Zahlenquadrat ist, dass die Summe der Zahlen in jeder Zeile und in jeder Spalte und auch in den beiden Diagonalen gleich ist (hier: 34). Rechne das selbst mal nach.
Es gibt viele weitere solcher magischen 4x4-Quadrate, z.B.
$\left( \begin{array}{rrrr} 15 & 10 & 3 & 6 \\ 4 & 5 & 16 & 9 \\ 14 & 11 & 2 & 7 \\ 1 & 8 & 13 & 12 \\ \end{array}\right)$
Und wenn man zwei magische 4x4-Quadrate komponentenweise addiert, erhält man wieder ein magisches Quadrat. Probier das selbst mal aus.
Eine weitergehende Untersuchung zeigt, dass man mit magischen Quadraten rechnen kann und dass dabei bestimmte Rechengesetze gelten. Magische Quadrate können – nach der abstrakten Sichtweise – somit als Vektoren angesehen werden.
Quellen
- [1]: Eisverkäufer - Urheber: Herzi Pinki - Lizenz: Creative Commons BY-SA 4.0
- [2]: Melancolia von Dürer mit magischem Quadrat - Urheber: Biblioteca Digital Hispánica - Lizenz: Public Domain
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