Zusammenfassung - Grenzwertdefinition
Die Grundidee
Eine Folge hat einen Grenzwert, wenn die Folgenglieder sich mit wachsender Platznummer bei diesem Wert stabilisieren. Die Stabilisierung zeigt sich an den Abständen der Folgenglieder zum Grenzwert. Diese Abstände müssen mit wachsender Platznummer beliebig klein werden.
$\epsilon$-Umgebung um $g$
Zur Präzisierung dieser Grundidee führen wir zunächst das Konzept der $\epsilon$-Umgebung ein: Wenn $g$ eine beliebige reelle Zahl ist und $\epsilon$ eine positive reelle Zahl ist, dann versteht man unter der $\epsilon$-Umgebung von $g$ alle Zahlen, die einen Abstand zu $g$ haben, der kleiner als $\epsilon$ ist. Das ist also der Zahlenbereich zwischen $g - \epsilon$ und $g + \epsilon$.
Im Applet kann man die $\epsilon$-Umgebung von $g$ mit dem grünen Punkt auf der $y$-Achse verändern.
Zum Herunterladen: grenzwertdefinition0.ggb
Im Applet ist zur $\epsilon$-Umgebung von $g$ ein $\epsilon$-Streifen um $g$ mit Hilfe von zwei Halbgeraden eingezeichnet. Mit diesem $\epsilon$-Streifen kann man anschaulich überprüfen, ob ein Folgenglied in der $\epsilon$-Umgebung von $g$ liegt: Ein Punkt zu einem Folgenglied liegt im $\epsilon$-Streifen zu $g$ genau dann, wenn das Folgenglied einen Abstand zu $g$ hat, der kleiner als $\epsilon$ ist.
Restfolge ab $n_0$
Wenn eine Folge $\left( a_n \right)$ den Grenzwert $g$ hat, dann müssen nicht alle Folgenglieder $a_n$ nahe am Grenzwert $g$ liegen. Es reicht, wenn das ab einer Mindestplatznummer $n_0$ der Fall ist. Man betrachtet also die Restfolge ab einer Platznummer $n_0$, die aus den Folgengliedern $a_{n_0}; a_{n_0 + 1}; ...$ besteht.
Im Applet kann man die Restfolge ab $n_0$ mit dem gelben Punkt auf der $x$-Achse einstellen.
Eine Grenzwertbedingung
Zur Charakterisierung des Grenzwerts einer Folge ist das Zusammenspiel von $\epsilon$-Umgebungen und Restfolgen ab einer Platznummer $n_0$ entscheidend:
Eine Folge $\left( a_n \right)$ hat den Grenzwert $g$ genau dann, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
Für jede $\epsilon$-Umgebung gibt es eine Platznummer $n_0$ derart, dass alle Folgenglieder der Restfolge ab $n_0$ in der $\epsilon$-Umgebung um $g$ liegen.
Grenzwertbedingung als Dialog
Die komplexe Grenzwertbedingung kann man als Dialog darstellen.
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| Ich gebe eine beliebiges $\epsilon$ vor. | Ich kann eine Platznummer $n_0$ angeben, ab der alle weiteren Folgenglieder in der $\epsilon$-Umgebung von $g$ liegen. Die Folgenglieder ab $n_0$ haben alle einen Abstand von $g$, der kleiner als $\epsilon$ ist. Die entsprechenden Punkte zu den Folgengliedern liegen alle im $\epsilon$-Streifen um $g$. |
Konvergenz und Divergenz
Eine Folge $\left( a_n \right)$ heißt konvergent genau dann, wenn sie einen Grenzwert $g$ hat. Sie heißt divergent genau dann, wenn sie nicht konvergent ist.
Wenn man nachweisen will, dass eine Folge $\left( a_n \right)$ nicht den Grenzwert $g$ hat, reicht es, eine $\epsilon$-Umgebung anzugeben, für die es keine Platznummer $n_0$ gibt, so dass die Restfolge ab $n_0$ in der $\epsilon$-Umgebung um $g$ liegt.
