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Übungen - Grenzwerte

Aufgabe 1

Berechne jeweils so viele Folgenglieder, bis eine Stabilisierungstendenz erkennbar wird. Formuliere eine Konvergenzaussage.

Beispiel Folge $\left( a_n \right)$ Folgenglieder Grenzwertaussage
(a) $a_n = 1 + \frac{1}{n}$ $2; \frac{3}{2}; \frac{4}{3}; \frac{5}{4}; ...$ $a_n \rightarrow 1$
bzw.
$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n} = 1$
(b) $a_n = - \frac{1}{n^2}$
(c) $a_n = 1.2^n$
(d) $a_n = (\frac{1}{10})^n$
(e) $a_n = \frac{n}{n+1}$
(f) $a_n = -n$
(g) $a_n = (-0.9)^n$
(h) $a_n = 2 - 0.5^n$
(i) $a_n = n^{0.5}$
(j) $a_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$

Aufgabe 2

Gib eine Folge $\left( a_n \right)$ an, die ...

  1. ... sich dem Grenzwert $1$ von unten nähert.
  2. ... sich dem Grenzwert $1$ von oben nähert.
  3. ... sich dem Grenzwert $1$ abwechseln von oben und unten nähert.
  4. ... sich dem Grenzwert $0$ sehr schnell von oben nähert.
  5. ... sich dem Grenzwert $0$ langsam von unten nähert.

Aufgabe 3

Hier wird ein Turm aus Würfeln gebaut. Der unterste Würfel hat die Kantenlänge 1 (m). Die Kantenlänge des jeweils nächsten Würfels beträgt das 0.9-fache des darunterliegenden Würfels. Die Folge $\left( a_n \right)$ beschreibt die Gesamthöhe eines Turms, der aus $n$ Würfeln besteht.

Würfelturm

(a) Berechne die ersten Folgenglieder der Folge $\left( a_n \right)$ und stelle sie in einer Wertetabelle dar. Zur Kontrolle: $a_3 = 2,71$.

(b) Entwickle eine rekursive Berechnungsvorschrift für die Folge $\left( a_n \right)$.

(c) Hier eine explizite Berechnungsvorschrift für die Folge $\left( a_n \right)$:

$a_n = \displaystyle{\frac{1-0.9^n}{1-0.9}}$ (für $n = 1; 2; 3; ...$)

Bestätige diese Vorschrift, indem du 3 Werte berechnest und sie mit den Werten aus (a) vergleichst.

(d) Wie hoch wird der Turm, wenn man den Prozess „Würfel hinzufügen“ unendlich fortsetzt. Bestimme hierzu den Grenzwert der Folge $\left( a_n \right)$ durch Einsetzen großer $n$-Werte und mit geeigneten Überlegungen.

Aufgabe 4

Das Mengendiagramm soll verschiedene Mengen von Folgen verdeutlichen. Die Menge A steht hier für alle Folgen, die monoton sind, aber nicht beschränkt und nicht konvergent.

Folgendiagramm

Ergänze Einträge in der Tabelle. Beachte: Es gibt hier Mengen, die leer sind (d.h. es gibt dann keine Beispielfolgen).

Menge Eigenschaften Beispiel (Graph)
A monoton
nicht beschränkt
nicht konvergent
B
C
D
E
F
G
H

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