Übungen - Grenzwerte

Aufgabe 1

Berechne jeweils so viele Folgenglieder, bis eine Stabilisierungstendenz erkennbar wird. Formuliere eine Konvergenzaussage.

Aufgabe 2

Gib eine Folge $\left(a_n\right)$ an, die ...

1. ... sich dem Grenzwert $1$ von unten nähert.
2. ... sich dem Grenzwert $1$ von oben nähert.
3. ... sich dem Grenzwert $1$ abwechseln von oben und unten nähert.
4. ... sich dem Grenzwert $0$ sehr schnell von oben nähert.
5. ... sich dem Grenzwert $0$ langsam von unten nähert.

Aufgabe 3

Hier wird ein Turm aus Würfeln gebaut. Der unterste Würfel hat die Kantenlänge 1 (m). Die Kantenlänge des jeweils nächsten Würfels beträgt das 0.9-fache des darunterliegenden Würfels. Die Folge $\left(a_n\right)$ beschreibt die Gesamthöhe eines Turms, der aus $n$ Würfeln besteht.

(a) Berechne die ersten Folgenglieder der Folge $\left(a_n\right)$ und stelle sie in einer Wertetabelle dar. Zur Kontrolle: $a_3=2,71$.

(b) Entwickle eine rekursive Berechnungsvorschrift für die Folge $\left(a_n\right)$.

(c) Hier eine explizite Berechnungsvorschrift für die Folge $\left(a_n\right)$:

$a_n={\displaystyle \frac{1-{0.9}^n}{1-0.9}}$ (für $n=1;2;3;...$)

Bestätige diese Vorschrift, indem du 3 Werte berechnest und sie mit den Werten aus (a) vergleichst.

(d) Wie hoch wird der Turm, wenn man den Prozess „Würfel hinzufügen“ unendlich fortsetzt. Bestimme hierzu den Grenzwert der Folge $\left(a_n\right)$ durch Einsetzen großer $n$-Werte und mit geeigneten Überlegungen.

Aufgabe 4

Das Mengendiagramm soll verschiedene Mengen von Folgen verdeutlichen. Die Menge A steht hier für alle Folgen, die monoton sind, aber nicht beschränkt und nicht konvergent.

Ergänze Einträge in der Tabelle. Beachte: Es gibt hier Mengen, die leer sind (d.h. es gibt dann keine Beispielfolgen).