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Zusammenfassung - Grenzwerte von Folgen

Stabilisierung der Folgenglieder

Die Stabilisierung der Folgenglieder ist ein Phänomen, das häufig in Anwendungssituationen auftritt. Hier ein Beispiel für eine Folge, deren Folgenglieder sich beim Grenzwert 1 stabilisieren.

(an): 2;1.1;1.001;1.0001;1.00001;...

Zur Beschreibung eines solchen Stabilisierungsverhaltens nutzt man Fachbegriffe und geeignete Schreibweisen.

Eine Folge (an) heißt konvergent genau dann, wenn sich die Folgenglieder mit wachsender Platznummer bei einer festen reellen Zahl g stabilisieren. Diese Zahl g nennt man dann Grenzwert der Folge.

Eine Folge (an) heißt divergent genau dann, wenn sie nicht konvergent ist (bzw. keinen Grenzwert hat).

Wenn eine Folge (an) den Grenzwert g hat, dann beschreiben wir dieses Grenzverhalten informell mit ang (für n) oder ganz formal mit dieser Schreibweise:.

limnan=g

Gelesen wird das so: "Der Limes (bzw. Grenzwert) von an für n gegen Unendlich ist gleich g".

Die Beispiele in der Tabelle zeigen verschiedene Möglichkeiten konvergenter und divergenter Folgen auf.

Beispiele:

Folge (an)Grenzwert
Folge konvergent

an2
bzw.
limnan=2
Folge divergent

g ex. nicht
Folge konvergent

an0
bzw.
limnan=0
Folge divergent

g ex. nicht
Folge konvergent

an0
bzw.
limnan=0
Folge konvergent

an1
bzw.
limnan=1
Folge konvergent

an1
bzw.
limnan=1
Folge divergent

g ex. nicht

Speziall - Nullfolgen

Eine Folge (an) heißt Nullfolge genau dann, wenn sie den Grenzwert 0 hat.

Beispiele:

an=1n; an=1n2; an=1n3; an=1n0.5=1n; an=1n0.2; ...

an=0.5n; an=0.1n; an=0.9n; an=(0.5)n; ...

Mit Hilfe von Nullfolgen lassen sich leicht konvergente Folgen mit beliebigen Grenzwerten konstruieren.

  1. limn(2+1n)=2
  2. limn(1+0.1n)=1
  3. limn(1(0.5)n)=1
  4. limn(3+1n)=3

Allgemein gilt:

Wenn (hn) eine Nullfolge ist und c eine beliebige reelle Zahl, dann hat die Folge (an) mit an=c+hn den Grenzwert c.

Wenn (hn) eine Nullfolge ist und c eine beliebige reelle Zahl, dann hat die Folge (an) mit an=chn den Grenzwert c.

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