Überprüfung - Grenzwerte

Aufgabe 1

Welche Aussagen passen nur zum Fall "die Folge hat den Grenzwert $g$", welche nur zum Fall "die Folge hat nicht den Grenzwert $g$"?

1. Wenn man den Abstand $ϵ$ passend wählt, dann haben alle Folgenglieder einen geringeren Abstand als $ϵ$ zum Grenzwert $g$.
2. Für jeden Abstand $ϵ$ gibt es Folgenglieder, die einen geringeren Abstand als $ϵ$ zum Grenzwert $g$ haben.
3. Für jeden Abstand $ϵ$ gibt es Folgenglieder, die einen größeren Abstand als $ϵ$ zum Grenzwert $g$ haben.
4. Egal, wie klein man den Abstand $ϵ$ wählt, es gelingt immer, eine Platznummer zu finden, ab der alle weiteren Folgenglieder einen geringeren Abstand als $ϵ$ zum Grenzwert $g$ haben.
5. Es gibt einen Abstand $ϵ$, bei dem es nicht gelingt, eine Platznummer zu finden, ab der alle weiteren Folgenglieder einen geringeren Abstand als $ϵ$ zum Grenzwert $g$ haben.
6. Bei jedem Abstand $ϵ$ haben nur endlich viele Folgenglieder einen größeren Abstand als $ϵ$ zum Grenzwert $g$.
7. Es gibt einen Abstand $ϵ$, bei dem unendlich viele Folgenglieder einen größeren Abstand als $ϵ$ zum Grenzwert $g$ haben.