Erarbeitung
Zur Orientierung
Die bisher betrachteten Beispiele führen zu folgender Vermutung: Wenn man eine Integralfunktion zu einer vorgegebenen Randfunktion ableitet, dann erhält man die Randfunktion. In diesem Abschnitt untersuchen wir systematischer, ob diese Vermutung zutrifft.
Ein einfachen Fall untersuchen
Im Applet ist die vorgegebene Randfunktion eine konstante Funktion $f$ mit $f(x) = c$. Bearbeite die Aufgabe unter dem Applet.
Zum Herunterladen: hauptsatz1.ggb
Aufgabe 1
(a) Die Konstante $c$ kann man mit dem verschiebbaren blauen Punkt auf der $y$-Achse variieren. Variiere $c$ und beobachte, wie sich hierdurch Graph $I_a$ verändert.
(b) Begründe:
- Wenn $f$ eine konstante Funktion ist, dann ist $I_a$ eine lineare Funktion, die durch den Koordinatenursprung verläuft.
- Die Steigung von $I_a$ entspricht der Konstanten $c$. Es gilt also $I_a'(x) = f(x)$ für alle betrachteten Stellen $x$.
Den komplexeren Fall untersuchen
Wir untersuchen jetzt nicht-konstante Randfunktionen. Im Applet werden als Beispiele abschnittsweise lineare Funktionen betrachtet. Bearbeite die Aufgabe unter dem Applet.
Zum Herunterladen: hauptsatz2.ggb
Aufgabe 2
(a) Die blauen Punkten auf Graph $f$ kann nach oben und unten bewegen. Hierdurch kann man Graph $f$ variieren. Beobachte, wie sich hierdurch ebenfalls Graph $I_a$ verändert.
Variiere im unteren Koordinatensystem den roten Punkt auf der $x$-Achse. Vergleiche den Funktionswert von $f$ an der Stelle $x$ und die Steigung von $I_a$ an der Stelle $x$ (die mit dem Steigungsdreieck verdeutlicht wird). Verdeutliche so experimentell, dass auch für die hier betrachteten Randfunktionen der Zusammenhang $I_a'(x) = f(x)$ (für alle betrachteten Stellen $x$) gilt.
(b)
Warum das so ist, wird im Abschnitt Vertiefung
genauer untersucht.
Wenn du es dir schon selbst plausibel machen willst, dann blende mit dem Kontrollkästchen [L] lokale Bestandsänderung ein.
(c) Überzeuge dich experimentell im einblendbaren Applet, dass es für den Zusammenhang $I_a'(x) = f(x)$ nicht wesentlich ist, dass die Randfunktion stückweise linear ist.
Einen Sonderfall untersuchen
Wir untersuchen jetzt eine weitere Randfunktion. Bearbeite die Aufgabe unter dem Applet.
Zum Herunterladen: hauptsatz4.ggb
Aufgabe 3
Bewege den blauen Punkt an der Stelle $x = 4$ nach oben oder unten. Kläre folgende Fragen: Welche Besonderheit entsteht hier bei Graph $f$? Wie wirkt sie sich auf Graph $I_a$ aus? Gilt für den Zusammenhang $I_a'(x) = f(x)$ auch für die Stelle $x = 4$?
Zusammenhänge formulieren
Wir fassen die experimentell gewonnenen (und inhaltlich plausiblen) Ergebnisse im folgenden Satz zusammen. Der formale Nachweis erfolgt im nächsten Abschnitt.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Betrachte eine Randfunktion $f$, die in einem Intervall $a \le x \le b$ keine Sprungstellen
hat (bzw. in diesem Intervall stetig ist).
Dann gilt $I_a'(x) = f(x)$ für alle $x$ aus dem Intervall.
Aufgabe 4
Erkläre, warum der Hauptsatz die Teilgebiete Differential- und Integralrechnung miteinander verbindet.
