Vertiefung

Zur Vorbereitung einen Zusammenhang über mittlere Funktionswerte betrachten

Aufgabe 1

• Im Applet ist eine Randfunktion $f$ vorgegeben. Diese beschreibt die Entwicklung der Änderungsrate eines Bestandes. Mit dem Kontrollkästchen [$\color{#7D7DFF}\blacklozenge$] kann man Hilfspunkte einblenden, mit denen man den Graph von $f$ variieren kann.
• Auf der $x$-Achse sind zwei Stellen (bzw. Zeitpunkte) $x_1$ und $x_2$ mit beweglichen roten Punkte $\color{red}\blacklozenge$ markiert.
• Wir betrachten das Integral $I_f = \int\limits_{x_1}^{x_2} f(x) \; dx$. Diese Integral beschreibt die Gesamtänderung des Bestandes im Intervall $x_1 \le x \le x_2$.
• Kann man das Integral $I_f$ mit einem mittleren Funktionswert (bzw. mit einer mittleren Änderungsrate) $f(z)$ zu einer Zwischenstelle $z$ aus dem Intervall $x_1 \le x \le x_2$ darstellen? Gesucht ist also eine Stelle $z$ aus dem Intervall $x_1 \le x \le x_2$, so dass $I_f$ dem orientierten Flächeninhalt des orange eingefärbten Rechtecks entspricht.
• Um das experimentell herauszufinden, befindet sich ein beweglicher Punkt $\color{#7D7DFF}\blacklozenge$ M auf Graph $f$. Zusammen mit den Stellen $x_1$ und $x_2$ wird das orange eingefärbte Rechteck gebildet. Platziere $M$ so, dass $I_f = I_g$ (in etwa) gilt, wobei $I_g = \int\limits_{x_1}^{x_2} g(x) \; dx = (x_2 - x_1) \cdot f(z)$ den orientierte Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt.

Zum Herunterladen: mittelwertsatz1.ggb

Aufgabe 2

• Im Applet ist eine weitere Randfunktion $f$ vorgegeben.
• Kann man das Integral $I_f$ mit einem mittleren Funktionswert (bzw. mit einer mittleren Änderungsrate) $f(z)$ zu einer Zwischenstelle $z$ aus dem Intervall $x_1 \le x \le x_2$ darstellen? Gesucht ist also eine Stelle $z$ aus dem Intervall $x_1 \le x \le x_2$, so dass $I_f$ dem orientierten Flächeninhalt des orange eingefärbten Rechtecks entspricht.
• Zeige experimentell, das es bei der vorgebenen Funktion keinen solchen mittleren Funktionswert zu einer Zwischenstelle $z$ aus dem Intervall $x_1 \le x \le x_2$ gibt. Erläutere, woran das hier liegt.

Zum Herunterladen: mittelwertsatz2.ggb

Aufgabe 3

Erläutere, was der folgende Mittelwertsatz im Kontext Entwiclung der Änderungsrate eines Bestandes besagt.

Den Hauptsatz verstehen und beweisen

Der Hauptsatz verbindet die fundamentalen Konzepte Ableitung und Integral. Das folgende Applet verdeutlich die mathematischen Argumentationen zum Beweis. Bearbeite die Aufgabe unterhal bes Applets.

Zum Herunterladen: hauptsatz5.ggb

Aufgabe 4

Verdeutliche die folgenden Argumentationen anhand des Applets. Nutze dabei die Einblendmöglichkeiten mit den Kontrollkästchen.

Schritt 1: die Ausgangssituation bzw. die Voraussetzungen klären

• Im unteren Fenster ist eine Randfunktion $f$ vorgegeben. Mit dem Kontrollkästchen [$\color{#7D7DFF}\blacklozenge$] kann man den Graph von $f$ variieren. Belasse es für die folgenden Überlegungen aber beim voreingestellten Graph. Beachte, dass Graph $f$ keine Sprungstellen hat (bzw. stetig ist).
• Im oberen Fenster ist der Graph einer zugehörige Integralfunktion $I_a$ dargestellt. Für $a$ ist der Wert $a = 1$ voreingestellt. Für die folgenden Überlegungen spielt die Wahl von $a$ keine Rolle. Belasse es also beim voreingestellten Wert.
• Wir betrachten eine Stelle $x$ aus der Definitionsmenge von $f$. Voreingestellt ist der Wert $x = 3$. Mit dem roten Punkt $\color{red}\blacklozenge$ auf der $x$-Achse kann man diese Stelle variieren. Belasse es für die folgenden Überlegungen aber beim voreingestellten Wert.

Schritt 2: die Behauptung klären

• Behauptet wird, dass die Integralfunktion $I_a$ für alle $x$ aus dem Intervall $a \le x \le b$ differenzierbar ist und dass $I_a'(x) = f(x)$ gilt.
• Die Ableitung $I_a'(x)$ erhält man als Grenzwert von Differenzenquotienten: $I_a'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{I_a(x+h)-I_a(x)}{h}}$. Das funktioniert nur, wenn der Grenzwert der Differenzenquotienten existiert.
• Der Differenzenquotient $\frac{I_a(x+h)-I_a(x)}{h}$ beschreibt die mittlere Änderungsrate der Integralfunktion $I_a$ im Intervall von $x$ bis $x+h$. Geometrisch kann man diesen Differenzenquotient als Sekantensteigung deuten.
• Der Grenzwert $I_a'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{I_a(x+h)-I_a(x)}{h}}$ beschreibt die lokale Änderungsrate der Integralfunktion $I_a$ an der Stelle $x$, sofern er existiert. Geometrisch kann man diesen Grenzwert dann als Steigung von Graph $I_a$ an der Stelle $x$ bzw. als Steigung der Tangente an Graph $I_a$ an der Stelle $x$ deuten.
• Die Behauptung lässt sich also so deuten: Die lokale Änderungsrate der Integralfunktion an der Stelle $x$ existiert und stimmt mit der dem Funktionswert der Randfunktion an der Stelle $x$ überein.

Schritt 3: den Differenzenquotienten im unteren Koordinatensystem deuten

• Die Integraldifferenz $I_a(x+h)-I_a(x)$ entspricht dem Integral von $f$ von $x$ bis $x+h$: $I_a(x+h)-I_a(x) = \int\limits_{x}^{x+h} f(x) \; dx$. Das kann man sich im Kontext Bestandsentwicklung klarmachen: Die Gesamtänderung von $a$ bis $x+h$ entspricht der Gesamtänderung von $a$ bis $x$ plus der Gesamtänderung von $x$ bis $x+h$. Bei dieser Überlegung sind wir von $h > 0$ ausgegangen. Für $h \lt 0$ gilt analog $I_a(x) - I_a(x+h) = \int\limits_{x+h}^{x} f(x) \; dx$.
• Da die Randfunktion stetig ist, kann man für $h > 0$ die Integraldifferenz $I_a(x+h)-I_a(x) = \int\limits_{x}^{x+h} f(x) \; dx$ mit einem mittleren Funktionswert $f(z)$ an einer Zwischenstelle $z$ aus dem Intervall von $x$ bis $x+h$ beschreiben: $I_a(x+h)-I_a(x) = f(z) \cdot h$. Analog kann man für $h \lt 0$ die Integraldifferenz $I_a(x) - I_a(x+h) = \int\limits_{x+h}^{x} f(x) \; dx$ mit einem mittleren Funktionswert $f(z)$ an einer Zwischenstelle $z$ aus dem Intervall von $x+h$ bis $x$ beschreiben: $I_a(x) - I_a(x+h) = f(z) \cdot (-h)$. Beachte, dass die Intervallbreite hier $-h$ beträgt.
• Durch Umformen erhält man (für beliebige $h$) die Gleichung $\frac{I_a(x+h)-I_a(x)}{h} = f(z)$. Der Differenzenquotient $\frac{I_a(x+h)-I_a(x)}{h}$ entspricht also dem Funktionswert von $f$ an einer Zwischenstelle $z$ aus dem Intervall von $x$ bis $x+h$.

Schritt 4: den Grenzwert des Differenzenquotienten im unteren Koordinatensystem deuten

• Für $h \rightarrow 0$ zieht sich das Intervall von $x$ bis $x+h$ auf die Stelle $x$ zusammen. Die Zwischenstelle $z$ nähert sich somit immer mehr der betrachteten Stelle $x$. Da die Funktion stetig ist, gilt $f(z) \rightarrow f(x)$ für $z \rightarrow x$ bzw. $h \rightarrow 0$.
• Mit $\frac{I_a(x+h)-I_a(x)}{h} = f(z)$ erhält man so: $\frac{I_a(x+h)-I_a(x)}{h} \rightarrow f(x)$ für $h \rightarrow 0$. Die Ableitung $I_a'(x)$ existiert also und es gilt $I_a'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{I_a(x+h)-I_a(x)}{h}} = f(x)$.