Zusammenfassung – Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Eigenschaften von Integralfunktionen
Das Applet zeigt Beispiele von Randfunktionen und zugehörigen Integralfunktionen.
Zum Herunterladen: integralfunktion4a.ggb
Anhand der Beispiele kann man folgende, inhaltlich plausible Zusammenhänge zwischen Randfunktion und zugehörigen Integralfunktionen erkennen.
| Eigenschaft der Randfunktion $f$ | Eigenschaft der Integralfunktion $I_a$ |
|---|---|
| positiv und streng monoton steigend | beschreibt beschleunigtes Wachstum |
| positiv und streng monoton fallend | beschreibt gebremstes Wachstum |
| negativ und streng monoton steigend | beschreibt gebremsten Zerfall |
| negativ und streng monoton fallend | beschreibt beschleunigten Zerfall |
Die Gegenüberstellung der Eigenschaften lässt einen fundamentalen Zusammenhang zwischen Randfunktion und zugehörigen Integralfunktionen vermuten: Wenn man eine Integralfunktion $I_a$ zu einer Randfunktion $f$ ableitet, erhält man die betrachtete Randfunktion $f$ bzw. kurz $I_a'(x) = f(x)$ (für alle $x$ aus der Definitionsmenge von $I_a$).
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Der Zusammenhang $I_a'(x) = f(x)$ gilt auf jeden Fall, wenn die vorgegebene Randfunktion eine konstante Funktion $f$ mit $f(x) = c$ ist. Das kann man sich direkt im folgenden Applet klarmachen.
Zum Herunterladen: hauptsatz1.ggb
Der Zusammenhang $I_a'(x) = f(x)$ gilt auch bei den nicht-konstante Randfunktionen im nächsten Applet.
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Den Graph der Randfunktion $f$ kann man mit den blauen Punkten auf Graph $f$ variieren. Ein Vergleich der Koordinaten der blauen Punkte auf Graph $f$ mit den Angaben an den Steigungsdreiecken an den entsprechenden Stellen zu Graph $I_a$ verdeutlicht experimentell, dass $I_a'(x) = f(x)$ auch hier gilt.
Der Zusammenhang $I_a'(x) = f(x)$ gilt jedoch nicht an Sprungstellen
der Randfunktion.
Das wird im nächsten Applet deutlich.
Zum Herunterladen: hauptsatz4.ggb
Wenn man den blauen Punkt auf Graph $f$ an der Stelle $x = 4$ nach oben oder unten bewegt, ergibt sich bei Graph $f$ eine Sprungstelle
und infolgedessen bei Graph $I_a$ eine Knickstelle
.
An solchen besonderen Stellen ist die Integralfunktion $I_a$ nicht differenzierbar, man kann die Ableitung an diesen Stellen nicht bilden.
Wenn man solche Sprungstellen
(bzw. Unstetigkeitsstellen) der Randfunktion ausschließt, dann erhält man den folgenden fundamentalen
Zusammenhang zwischen Randfunktionen und zugehörigen Integralfunktionen.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Betrachte eine Randfunktion $f$, die in einem Intervall $a \le x \le b$ keine Sprungstellen
hat (bzw. in diesem Intervall stetig ist).
Dann ist $I_a$ im betrachteten Intervall differenzierbar und es gilt $I_a'(x) = f(x)$ für alle $x$ aus dem Intervall.
Der Hauptsatz verbindet die Teilgebiete Differential- und Integralrechnung miteinander. Beachte, dass wir den Hauptsatz hier nur an Beispielen überprüft haben. Einen Beweis findest du hier.
Bestimmung von Integralfunktionen durch Aufleiten
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung eröffnet die Möglichkeit, Integralfunktionen zu einer Randfunktion durch Aufleiten
zu bestimmen.
Wir führen für das „Aufleiten“ einer Funktionen einen Fachbegriff ein.
Stammfunktion
Eine Funktion $F$ wird Stammfunktion von $f$ genannt genau dann, wenn $f$ die Ableitungsfunktion von $F$ ist bzw. wenn $F' = f$ gilt.
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt, dass die Integralfunktion $I_a$ zu einer stetigen Randfunktion $f$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Die Schwierigkeit bei der Bestimmung von Integralfunktionen als Stammfunktionen zu einer vorgegebenen Randfunktion $f$ besteht darin, dass die Bildung von Stammfunktionen nicht eindeutig ist. Es gilt folgender Satz.
Gesamtheit aller Stammfunktionen
(A) Wenn die Funktion $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, dann ist auch die Funktion $G$ mit $G(x) = F(x) + c$ mit $c\in\mathbb{R}$ eine Stammfunktion von $f$.
(B) Wenn die Funktionen $F$ und $G$ Stammfunktionen von $f$ sind, dann unterscheiden sie sich nur durch eine additive Konstante, d.h. es gibt eine reelle Zahl $c\in\mathbb{R}$, so dass $F(x) = G(x) + c$ gilt (für jedes $x$ aus der Definitionsmenge von $f$).
Wenn man eine Integralfunktion $I_a$ als Stammfunktion zu einer vorgegebenen Randfunktion $f$ bestimmen will, muss man also die zu $f$ und zur unteren Grenze $a$ passende Stammfunktion bilden. Wir verdeutlichen das Vorgehen am Beispiel im Applet.
Zum Herunterladen: integralfunktion6a.ggb
Gegeben ist die Randfunktion $f$ mit $f(x) = 50$. Voreingestellt ist zudem die untere Grenze $a = 0$. Im Applet sieht man, dass die Punkte der Integralfunktion $I_0$ mit $I_0(x) = 50x$ erfasst werden. Für $f(x) = 50$ und $a = 0$ passt also die Stammfunktion $F$ mit $F(x) = 50x$.
Wenn man die untere Grenze auf z.B. $a = 2$ einstellt, dann muss man $I_2(x) = 50x - 100$ im Eingabefeld für die Integralfunktion eingeben, damit die Punkte der Integralfunktion $I_2$ korrekt erfasst werden. Wichtig ist es, neben der Hauptsatzbedingung $I_2'(x) = f(x)$ auch die Ausgangsbedingung $I_2(2) = 0$ zu erfüllen. Für $f(x) = 50$ und $a = 2$ passt also die Stammfunktion $F$ mit $F(x) = 50x - 100$.
Das Beispiel verdeutlicht, wie man bei der Bestimmung einer Integralfunktion $I_a$ zu einer Randfunktion $f$ vorgeht:
-
Hauptsatzbedingung: $I_a'(x) = f(x)$
Bestimme eine Stammfunktion $F$ von $f$. Es gilt dann $I_a(x) = F(x) + c$ mit einer reellen Zahl $c$. -
Ausgangsbedingung: $I_a'(a) = 0$
Die Bedingung $I_a(a) = 0$ ist erfüllt, wenn $c = -F(a)$ bzw. $I_a(x) = F(x) - F(a)$ gilt.
Bestimmung von Integralfunktionen mit Stammfunktionen
Betrachte eine Randfunktion $f$, die in einem Intervall $a \le x \le b$ keine Sprungstellen
hat (bzw. in diesem Intervall stetig ist).
Wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, dann kann man die Integralfunktion $I_a$ so darstellen:
$I_a(x) = F(x) - F(a)$ $\qquad$ (für $a \le x \le b$ )
