Vertiefung
Zur Orientierung
Im letzten Abschnitt wurde gezeigt, wie man Integralfunktionen zu einer vorgegebenen Randfunktion als Stammfunktionen der Randfunktion bestimmen kann. In diesem Abschnitt vertiefen wir diese Zusammenhänge und schließen dabei auch noch eine Argumentationslücke.
Stammfunktionen untersuchen – ein Beispiel
Beispiel
Geg.: Randfunktion $f$ mit $f(x) = x^2 - 1$
Ges.: Gesamtheit aller Stammfunktion zur Randfunktion $f$
Aufgabe 1
(a) Im Applet ist ein Vorschlag für eine Stammfunktion im Eingabefeld für $F(x)$ vorgegeben. Die Darstellung von $F'$ im unteren Koordinatensystem zeigt, dass der Vorschlag noch nicht passt. Korrigiere ihn so, dass $F$ eine Stammfunktion zur Randfunktion $f$ ist.
(b) Gib im Eingabefeld für $G(x)$ eine weitere Stammfunktion zur Randfunktion $f$ ein. Überprüfe im unteren Koordinatensystem, ob die Bedingung $G' = f$ erfüllt ist.
(c) Blende die Differenzfunktion $H(x) = F(x) - G(x)$ ein. Beschreibe, wie Graph $H$ und Graph $H'$ verlaufen.
Zum Herunterladen: stammfunktionen.ggb
Stammfunktionen untersuchen – der allgemeine Fall
Für Stammfunktionen zu einer Ausgangsfunktion gilt:
Kennt man eine, dann kennt man viele.
Kennt man eine, dann kennt man alle.
Das lässt sich so präzisieren:
Gesamtheit aller Stammfunktionen
(A) Wenn die Funktion $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, dann ist auch die Funktion $G$ mit $G(x) = F(x) + c$ mit $c\in\mathbb{R}$ eine Stammfunktion von $f$.
(B) Wenn die Funktionen $F$ und $G$ Stammfunktionen von $f$ sind, dann unterscheiden sie sich nur durch eine additive Konstante, d.h. es gibt eine reelle Zahl $c\in\mathbb{R}$, so dass $F(x) = G(x) + c$ gilt (für jedes $x$ aus der Definitionsmenge von $f$).
Aufgabe 2
(a) Begründe die Teilaussage (A).
(b) Erläutere zur Begründung von Teilaussage (B) die folgenden Überlegungen am Beispiel oben:
- Wenn $F$ und $G$ Stammfunktionen von $f$ sind, dann gilt $F'(x) = f(x)$ und $G'(x) = f(x)$.
- Für die Hilfsfunktion $H$ mit $H(x) = F(x) - G(x)$ gilt dann: $H'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0$.
- Die Funktion $H$ hat demnach überall die Steigung $0$. Es ist plausibel, dass der Graph der Funktion $H$ dann eine Parallele zur $x$-Achse darstellt.
- Die Funktion $H$ ist demnach eine konstante Funktion mit $H(x) = c$ für ein $c\in\mathbb R$ ist.
- Also gilt $F(x) - G(x) = c$. Die Stammfunktionen $F$ und $G$ unterscheiden sich folglich nur durch eine additive Konstante $c$.
Ergebnisse auf Integralfunktionen anwenden
Aufgabe 3
Die folgende Auflistung gibt noch einmal die Überlegungen wieder, die zur Darstellung einer Integralfunktion mit einer beliebigen Stammfunktion führen.
- Die Integralfunktion $I_a$ zur Randfunktion $f$ ist eine Stammfunktion von $f$.
- Wenn $F$ eine Stammfunktion zur Randfunktion $f$ ist, dann unterscheiden sich $I_a$ und $F$ nur durch eine additive Konstante. D.h., es gibt eine Konstante $c$, so dass $I_a(x) = F(x) + c$ gilt.
- Mit der Zusatzbedingung $I_a(a) = 0$ erhält man $c = -F(a)$ und damit $I_a(x) = F(x) - F(a)$.
Erläutere, in welchem Argumentationsschritt der Haupsatz der Differential- und Integralrechnung benutzt wird. Erläutere auch, in welchem Argumentationsschritt der Satz über die Gesamtheit aller Stammfunktionen benutzt wird.
Aufgabe 4
Begründe mit einem geeigneten Satz die folgende Aussage:
Existenz von Stammfunktionen
Wenn die Funktion $f$ in einem Intervall $a \le x \le b$ stetig ist, dann hat sie (in diesem Intervall) eine Stammfunktion.
